Circuitos

3.- Aplicación de la integral.

3.1 Áreas.

En Geometría Elemental se conocen las fórmulas para hallar el área de cualquier región limitada por una poligonal cerrada. Ahora bien, si una región está limitada por alguna línea curva, como es el círculo, el área se expresa como un límite de las áreas de poligonales “próximas”. El procedimiento descrito en el capítulo anterior para definir el concepto de integral de una función consiste precisamente en aproximar la función por funciones escalonadas; si consideramos una función y = f(x) no negativa en un intervalo [a, b], la integral inferior es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos en la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b, y la integral superior es el límite de las áreas de los rectángulos circunscritos a dicha región. De este modo podemos se definir el área de dicha región como la integral de la función f en el intervalo [a, b]. En general,

Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a, b], el área de la región limitada por la función, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como

Observación: El valor absoluto de la función es debido a que en los intervalos donde la función es negativa, la integral también es negativa y su valor es opuesto al del área correspondiente. En la práctica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos determinar los intervalos de [a, b] donde la función es positiva o negativa y descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. Así, en la figura adjunta, el área se expresa como

En particular, si la función esta expresada en forma paramétrica x = x(t), y = y(t), el área viene expresada como

Donde a = x (t0), b = x (t1).

Regiones más generales que las descritas son aquellas que esta limitadas por dos funciones y = f(x), y = g(x) entre dos rectas verticales x = a y x = b. En este caso el ´area se expresa mediante la formula

En el ejemplo de la figura, el área se descompone como:

Si la región está limitada por dos curvas y = f(x), y = g(x) entre dos rectas horizontales

y = c e y = d, consideramos las funciones inversas e integramos respecto a la variable y. El área se expresa entonces como

En el ejemplo de la figura, dicha integral se descompone como

En los ejercicios que siguen veremos ejemplos de todas las situaciones planteadas. Al ser válidas aquí todas las propiedades de las integrales obtenidas en el capituló anterior, aplicaremos siempre los teoremas fundamentales de la integral. Nos limitaremos a escribir el resultado de dicha primitiva y a indicar las sustituciones en los extremos de integración. Sí es muy conveniente tener una idea aproximada de la representación gráfica de las funciones involucradas para conocer la posición relativa de las mismas y los intervalos de integración. Es importante también observar las simetrías de las figuras para así poder escribir fórmulas más sencillas para el área de las mismas.

Hallar el área de la figura limitada por la recta x = 2a y la hipérbola

x2 y2 = 1.

− b2

a2

Solución

De acuerdo con la figura, el área se obtiene como

PROBLEMA 11.5

Hallar el área limitada por la curva y2 = x4(4 + x).

Solución

Como la figura está determinada por el intervalo x ∈ [−4, 0] y es simétrica respecto al eje X, el ´área será

3.2 Longitud de curvas.

Dada la función y = f(x), definida en un intervalo [a, b], a cada partición P = {x0 = a, x1, . . . , xn−1, xn = b} de [a, b] le corresponde una poligonal de vértices Pk = (xk, f(xk)), k = 0,1, . . . , n, como indica la figura.

La longitud del arco de la curva entre los puntos A y B de abscisas x = a y x = b se define como el supremo de los perímetros de todas las poligonales. Si es finito, se dice que la curva es rectificable; si no, la curva no es rectificable (tiene longitud infinita). El resultado fundamental que aplicaremos en esta sección es el siguiente:

Teorema. Si una función y = f(x) tiene derivada de primer orden continua en [a, b], entonces es rectificable y la longitud del arco viene dada por la fórmula

Si la función viene expresada en coordenadas paramétricas x = x(t), y = y(t), la fórmula queda de la forma

Siendo t0 y t1 los parámetros correspondientes a los puntos inicial y final de la curva.

En la mayoría de los casos no es posible encontrar expresiones explicitas de la longitud de un arco de curva. Por ello se deben crear nuevas funciones, como es el caso de las integrales elípticas (que expresan longitudes de arcos de elipses), o utilizar métodos aproximados para calcular arcos de curva.

PROBLEMA 11.67

Hallar la longitud del arco de la parábola x2 = 2py, con p > 0, comprendida en el intervalo [0, a].

Solución

Si calculamos la derivada de la función, tenemos

La longitud del arco pedido queda entonces

Solución

Si consideramos

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