Comom se da un Movimiento ondulatorio

Movimiento ondulatorio

Supongamos que la mano en el extremo de la cuerda le aplica a la misma un pulso transversal único de vaivén. Esta perturbación, que se desplazará a lo largo de la cuerda, provocará en la misma lo que denominamos una onda.  

[pic 1] 

Un caso similar ocurre en segunda figura, en el sistema compuesto por un cilindro contentivo de un fluido (líquido o gaseoso) y un pistón sobre el que aplicamos también un movimiento de vaivén. La perturbación, en este segundo caso, también provocará una onda.

A notar que mientras el movimiento que produce la perturbación en las partículas de la cuerda es perpendicular al desplazamiento de la onda, en el primer caso. En el segundo caso, por el contrario, el movimiento de las partículas del fluido dentro del cilindro tendrá la misma dirección que el desplazamiento de la onda. Por esta razón diremos que en el primer caso se trata de una onda transversal mientras que en el segundo caso hablaremos de una onda longitudinal.  

Estas ondas se trasladan dentro de un medio (la cuerda o el fluido dentro del cilindro) y por esta razón se denominan ondas mecánicas. Una onda mecánica típica es la onda acústica que produce la bocina de un carro o la vibración de las cuerdas de una guitarra. Existe otro tipo de ondas, las denominadas ondas electromagnéticas, que se pueden trasladar en el vacío, como la luz o las ondas hertzianas de radio o televisión.    

Ondas transversales periódicas

                                                                        [pic 2]

Un bloque de masa m, unido a un resorte de constante k tiene un movimiento armónico simple que produce una onda sinusoidal a lo largo de la cuerda que se ilustra en la figura.

En la figura se destaca la amplitud de la onda A, que es la misma que la del movimiento armónico simple del sistema masa-resorte; también destacamos la cresta y el valle de la onda, es decir la parte de arriba y de abajo de ésta, respectivamente.

En la siguiente figura, destacamos, además, la longitud de onda λ que es la distancia entre dos puntos equivalentes de la onda (en el caso que nos ocupa dos valles, pero podrían ser dos crestas, o dos puntos equivalentes cualesquiera).  

[pic 3] 

La onda tendrá el mismo período T (tiempo para recorrer una longitud igual a 𝜆) que el período del MAS del sistema masa-resorte, así como también la misma frecuencia f (número de ciclos por unidad de tiempo) y se desplazará con una rapidez 𝑣 = = 𝜆𝑓, a lo largo de la cuerda.  [pic 4]

Función sinusoidal en función de (x,t)

Consideremos una cuerda tensada horizontal a la que se le aplica una fuerza que produce una onda sinusoidal en la misma del tipo:

y(t) = Acosωt

donde ω = 2πf es la frecuencia angular del movimiento armónico simple que produce la onda.

Si consideramos dos puntos de la onda separados por una distancia x = vt, donde v es la rapidez de propagación de la onda y t =  el intervalo de tiempo para que la perturbación llegue del punto de atrás al que está delante, la función siguiente, de las variables x, t:[pic 5]

                    y(x,t) = Acosω([pic 6]

representará el movimiento de la onda, tanto en el espacio (x), como en el tiempo (t).

Ahora bien, y(x,t) =Acosω(= Acos2ωf() = Acos(2πft). Simplificando f dentro del paréntesis, teniendo en cuenta que   , llamando n= el número de onda y recordando que 2πf = ω, tendremos: [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

 [pic 12]

y(x,t)=Acos(nx- ωt)

que será la función que representará la onda tanto en el espacio (x) como en tiempo (t)

    [pic 13]

 En la figura mostramos la evolución de la onda. Como se puede apreciar los puntos A y C, que en el instante t=0 se encuentran en un valle, subirán a la cresta en un intervalo de tiempo igual a  , es decir a mitad del período, y volverán a estar en un valle en un intervalo de tiempo igual T. [pic 14]

     El punto B, por el contrario, pasará de una cresta a un valle y de un valle a la cresta de nuevo, en un período.

     Se notará que la amplitud de la onda no varía y se mantendrá siempre igual a la amplitud del movimiento armónico simple del sistema masa-resorte que es causante de la onda en la cuerda.

Las gráficas representan la evolución de la cuerda en el espacio a través del tiempo.

Las siguientes gráficas representan el movimiento del punto x=0 a lo largo del tiempo t (la primera gráfica) y la instantánea de la onda a lo largo de la cuerda para el instante t=0.

 [pic 15]

Ten presente que esta primera gráfica no es una onda, sino que representa el movimiento del extremo de la cuerda (x=0), desde +A a -A y viceversa, a lo largo del tiempo t.

Esta segunda gráfica, sí es una onda, y representa la forma que adopta la cuerda en un instante t determinado.

Ejercicio:

Luis mantiene tenso el extremo de un tendedero y lo mueve hacia arriba y hacia abajo sinusoidalmente, con una frecuencia de 2.00 Hz y una amplitud de 0.075 m. La rapidez de onda es v = 12.0 m/s. En t = 0, el extremo de Luis tiene desplazamiento positivo máximo y está en reposo por un instante. Suponga que ninguna onda rebota del extremo lejano.  

1. Calcule la amplitud de onda A 

La amplitud de onda A=0.075m

1. La frecuencia angular ω

            La frecuencia angular ω=2πf =2π(2)=12.57 rad/seg 

1. El periodo T: El período T =   = 0.5 𝑠𝑒𝑔[pic 16]
2. La longitud de onda 𝜆 

La longitud de onda 𝜆 = 𝑣𝑇 = 12(0.5) = 6.00 m

1. El número de onda número de onda:  n =  =1.05 [pic 17]
2. Obtenga una función de onda que la describa. 

y= Acos(nx-ωt) = 0.075cos ((2) t)[pic 18]

y = 0.075cos(1.05x-12.57t)

f) Escriba las ecuaciones para el desplazamiento, en función del tiempo, del extremo   que Luis sujeta y el de un punto situado a 3.00 m de ese extremo.

Para el extremo que Luis sujeta, x = 0, y tendremos: 

y(x=0, t) = 0.075cos(-12.57t) = 0.075 cos(12.57t)

recordando que se demuestra en trigonometría que cosα = cos(-α).

 Para un punto situado a x=3.00m del extremo          

 y(x=3, t) = 0.075cos( = 075cos(π−12.57𝑡) [pic 19]

          Recordemos que cos(α-β) = cosαcosβ + senαsenβ, que aplicada al caso actual:

cos(π−12.57𝑡) =cosπcos(-12.57t) + senπsen(-12.57t) = (-1) cos(-12.57t) pues   senπ=0 y el segundo término se anula. Así, tendremos, finalmente:  [pic 20]

y(x=3, t) = -0.075 cos(12.57t)

Es de notar que como 𝜆=6.00m, los dos últimos puntos considerados están situados a media longitud de onda de distancia (pues x=3.00m) y por lo tanto no están en fase. En el instante en que uno esté arriba el otro estará abajo del punto de equilibrio y viceversa, aunque a igual distancia de dicho punto de equilibrio. En otras palabras y (x=0, t) e y (x=3, t) son iguales en valor absoluto, pero de signo contrario.

El lector podrá comprobar que, por el contrario, si calcula y(x=6, t), obtendrá el mismo resultado que el de y(x=0, t), pues los puntos x=0 y x=6, sí están en fase, porque la distancia entre ellos es igual a la longitud de onda 𝜆, en este caso 6.  

Velocidad y aceleración de partículas en una onda sinusoidal

Con la función de onda obtenemos una expresión para la velocidad transversal de cualquier partícula de una onda transversal, que llamaremos vy para distinguirla de la rapidez v de propagación de la onda. Para calcular vy en un punto x dado, derivamos la función de onda y/x,t) con respecto a t, manteniendo a x constante. Si la función de onda es:

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