Concepto de límite

Concepto de límite

SI f(x) SE ACERCA ARBITRARIAMENTE A UN NÚMERO L, CONFORME x SE APROXIMA A UN NÚMERO a TANTO POR LA IZQUIERDA COMO POR LA DERECHA, ENTONCES “EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A a ES L”, LO CUAL SE DENOTA COMO:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CONCEPTOS GENERALES

Las funciones trigonométricas resultan básicamente de realizar divisiones entre los lados de un triángulo. Su aplicación se extiende a parte de las ramas de la matemática, al estudio de muchos conceptos básicos de la física. Para una mejor comprensión del tema, analicemos la siguiente gráfica:

En la figura se observa un ángulo que orientado en forma positiva (en sentido contrario a las manecillas del reloj), en el cual su lado inicial es el mismo eje de coordenadas x, y su lado Terminal el nombrado con la letra A. Sobre este lado terminal se han localizado dos puntos P1 y P2 respectivamente, y por cada uno de los dos puntos hemos trazado igual número de perpendiculares sobre el eje de coordenadas x, formando así dos triángulos rectángulos a saber: triángulo 0M1P1 y 0M2P2. De lo anterior, se deduce, que de la misma forma que hemos construido dos triángulos rectángulos, se pueden construir una cantidad infinita de triángulos, que por geometría se sabe que serán semejantes entre sí.

En forma general, tomemos un solo triángulo representativo de la cantidad infinita de triángulos que se pueden construir, que sería el triángulo 0MP, donde el punto P tiene de coordenadas dos puntos (x, y).

Sea el triángulo rectángulo:

El lado que se encuentra al frente del ángulo recto, en cualquier triángulo rectángulorecibe el nombre de hipotenusa, que en la gráfica la hemos señalado con la letra r.

Por el teorema de Pitágoras se halla el valor de r, entonces:

Esta relación indica que para cualquier ángulo dado, cualquiera que sea el punto P quese tome sobre su lado terminal, el cociente entre cualquiera de los lados y r, tiene un valorconstante.

Es decir:

siempre van a tener un valor constante.

De igual manera, como se han encontrado los valores de estas dos funciones, por semejanza de triángulos se puede hallar otras proporciones y nombrarlas con diferentes nombres, que en conjunto son las que llamamos funciones trigonométricas.

En función del triángulo rectángulo se definen las funciones trigonométricas así:

Llamando:

r = hipotenusa del triángulo

y = cateto opuesto respecto de .

x = cateto adyacente respecto de .

Entonces:

Sea el triángulo de la figura:

Calcular las funciones trigonométricas del ángulo .

Para hallar las funciones trigonométricas, es indispensable conocer el valor del lado a. Para hallarlo utilizamos el teorema de Pitágoras:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

Se sabe por definición que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°.

Si a un cuadrado se le traza una diagonal, genera dos triángulos rectángulos, con unángulo de 90° y dos de 45°. Ahora, si se trata de un triángulo equilátero donde sus tres ángulos son iguales (60° cada uno), y se divide en dos partes trazando una de las alturas del triángulo, genera dos triángulos rectángulos, donde cada uno de los triángulos tiene un ángulo de 90°, uno de 60° y el otro de 30°. A los ángulos de 30°, 45° y 60° son los que llamamos ángulos notables.

Funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°

Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, tomaremos comobase un triángulo equilátero.

Observemos que al dividir el triángulo equilátero en dos partes, resultan dos triángulosrectángulos.

Tomemos uno de ellos:

Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°,es necesarioencontrar el valor de la altura del triángulo. Este valor se halla por medio del teorema dePitágoras:

Teniendo los datos del triángulo completos, se hallan las funciones trigonométricas paracada uno de los ángulos:

De igual manera se procede para el ángulo de 30°, y se tendrá:

De lo anterior se establece una serie de relaciones entre los dos ángulos:

Seno 60° = Coseno 30°

Coseno 60° = Seno 30°

Tangente 60° = Cotangente 30°

Secante 60° = Cosecante 30°

Cosecante 60° = Secante 30°

Funciones trigonométricas para el ángulo de 45°

Para encontrar las funciones trigonométricas del ángulo de 45°, se utiliza un cuadradocomo referencia:

Si al cuadrado de la figura se le traza una diagonal, el cuadrado queda dividido en dostriángulos rectángulos, donde se conocen los valores de los catetos (L), y se desconoceel valor de la hipotenusa (x). Este valor al igual que en el caso anterior, se halla por mediodel teorema de Pitágoras:

Con el anterior valor se completan los datos de la figura:

De esta manera hallamos las funciones trigonométricas para el ángulo de 45°.

Resumiendo en un cuadro general todas las funciones trigonométricas para los ángulosde 30°, 45° y 60°, tenemos:

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER ( I ) CUADRANTE

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL SEGUNDO ( II ) CUADRANTE

Para una mejor explicación, observemos la siguiente figura:

En la figura se tiene que:

OA = OA´ = radio de la circunferencia.

El lado OA´ corresponde al lado terminal de un ángulo ubicado en el segundo cuadrante,y por semejanza de triángulos las funciones trigonométricas de éste ángulo son igualesque las funciones trigonométricas del ángulo del primer cuadrante.

Se debe tener en cuenta que:

Al ángulo marcado como , le corresponden las mismas funciones trigonométricas del ángulo a del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:

Expresar un ángulo de 150°, como función de un ángulo agudo

El ángulo agudo al cual se hace referencia, es el llamado ángulo suplemento del ángulodado. Se tiene que el ángulo referencial de 150°, es 180° - 150° = 30°, es decir: su ángulo suplementario, luego entonces el ángulo = 30°

Aplicando uno de los enunciados anteriores, se tiene:

Sen ( ) = Seno ángulo

Sen 150° = Sen

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