Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS NUME´RICOS

Nu´meros Naturales

El conjunto de los nu´meros naturales N, es el conjunto formado por los nu´meros 1, 2, 3, . . .

N = {1, 2, 3, . . .}.

Nu´meros Enteros

El conjunto de los nu´meros enteros Z, es:

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

En el conjunto Z se distinguen los siguientes subconjuntos:

El conjunto formado por el cero

El conjunto de los enteros positivos

{0}

Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N

El conjunto de los enteros negativos

Z− = {−1, −2, −3, . . .}.

Nu´meros Racionales

El conjunto de los nu´meros racionales Q, esta definido por los cocientes entre dos nu´meros enteros:

Q = ,r ∈ Q  :  r = m;  m, n ∈ Z,  n ƒ= 0,[pic 1]

Los nu´meros racionales tienen representaciones: decimal de cifras finitas o decimal de cifras infini- tas peri´odicas.

Ejemplos:

i. 15 = 15.[pic 2]

ii. 3 = 0,75.[pic 3]

iii. 2 = 0,6666 . . . = 0,6.[pic 4][pic 5]

iv. 11 = 1,8333 . . . = 1,83.[pic 6][pic 7]

Nu´meros Irracionales

El conjunto de los nu´meros irracionales Qj, esta definido por los nu´meros cuya representaci´on de- cimal es infinita pero no peri´odica. No es posible representarlos como el conciente de enteros.

Ejemplos:

i. √2 = 1,4142135623 . . ..[pic 8]

ii. π = 3,1415992653 . . ..

iii. e = 2,7182818 . . ..

Nu´meros Reales

El conjunto de los nu´meros reales R, es aquel formado por todos los nu´meros con representaci´on decimal, esto es, nu´meros racionales Q y nu´meros irracionales Qj.

R = Q ∪ Qj.

Esquema de conformaci´on de los nu´meros reales.

[pic 9]

La Recta Num´erica

Los nu´meros enteros pueden ser representados sobre una recta siguiendo este procedimiento:

Sobre la recta se establece un sentido positivo y un punto O (origen), que representa el entero 0 (cero):[pic 10]

[pic 11]

A partir de 0, en el sentido positivo, se marca un segmento unitario u = 0 cuya extremo es representado por el entero 1:[pic 12][pic 13]

[pic 14]

Para cada entero positivo n, a partir de 0, se marca un segmento de medida nu en el sentido positivo cuyo extremo representa el entero n y se marca un segmento de medida nu en el sentido negativo cuyo extremo representa el entero −n[pic 15]

[pic 16]

Se puede establecer una relaci´on entre los nu´meros reales y la recta num´erica. A cada nu´mero real le corresponde un u´nico punto de la recta, y cada punto de la recta representa un u´nico nu´mero real. Los nu´meros reales se representan en esta recta, usando su representaci´on decimal.

Ejemplo, se representan los nu´meros 6 = 1,2 y −7 = −3,5[pic 17][pic 18]

[pic 19]

El conjunto de los nu´meros reales est´a ordenado. Sean a, b     R, si a < b, entonces b     a > 0 (es positivo).[pic 20]

Valor Absoluto de Nu´meros Reales

El valor absoluto de un nu´mero real x, se denota por |x| y representa la distancia sobre la recta real desde 0 hasta x, por lo tanto |x| ≥ 0.

[pic 21]

Operaciones con Nu´meros Reales

En los nu´meros reales se pueden definir dos operaciones binarias, la suma (+) y el producto (  ), las cuales satisfacen las siguientes propiedades:[pic 22]

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