Constantes y variables

Funciones y gráficas:

Constantes y variables:

Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son constantes cuando tienen un valor  fijo y determinado, y son variables cuándo toman diversos valores.  Ejemplos:

• Si un metro de tela cuesta Q2.00, el costo de una pieza de tela dependerá del número de metros que tenga la pieza; si la pieza tiene 25 metros el costo será de Q50.00,  si tiene 100 metros costará Q200.00.  Aquí el costo de un metro que  siempre es el mismo Q2.00  es una constante, y el número de metros de la pieza y el costo de la pieza que toman diversos valores son variables.  Siempre que una cantidad variable depende de otra se dice que es función de esta última.

Definición: Según Cauchy se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable  x corresponden uno o varios valores determinados de la variable  y.

La notación para expresar que  y es función de   x  es   y= f(x)

• Si un escalador de rocas deja caer una piedra desde un acantilado alto, que sucede con la piedra? Por supuesto la piedra cae; que tanto ha caído en determinado momento depende del tiempo que ha estado descendiendo. Esta es una descripción general, pero no indica de manera exacta cuando la piedra choca con el suelo. Lo que necesitamos es una regla que relacione la posición de la piedra con el tiempo que esta ha descendido.

Esta “regla” para hallar la distancia en términos del tiempo se llama función. Se dice que la distancia es una función del tiempo.

Ley de dependencia: Siempre que los valores de una variable  y  dependen de los valores de otra variable  x;  y es función  de x; la palabra función  indica dependencia. Pero no basta saber qué  y  depende de  x, interesa mucho saber cómo depende y de x, de qué modo varía y cuando varía x; esta relación que liga a las variables es lo que se llama ley de dependencia entre las variables.

En algunos casos sabemos que una cantidad depende de otra pero no conocemos la relación que liga a las variables. De allí la división de las funciones en analíticas y concretas.

Funciones Analíticas: Cuando se conoce de un modo preciso la relación analítica que liga a las variables, esta relación puede establecerse matemáticamente por medio de una fórmula o ecuación que nos permite  para cualquier valor de la variable independiente, hallar el valor correspondiente de la función. Ejemplos: El costo de una pieza de tela, función del número de metros de la pieza, conocido el costo de un metro puede calcularse  el costo de cualquier número de metros.   El tiempo empleado en hacer una obra, función del número de obreros.  Conocido el tiempo que emplea cierto número de obreros en hacer una obra, puede calcularse el tiempo que emplearía cualquier otro número de obreros en hacerla.

 El espacio que recorre un cuerpo en su caída libre desde cierta altura, función del tiempo.  Conocido el tiempo que emplea en caer un móvil puede calcularse el espacio recorrido.

Funciones Concretas: Cuando por observación de los hechos sabemos que una cantidad depende de otra, pero no se ha podido determinar la relación analítica que liga a las variables. En este caso la ley de dependencia que no se conoce con precisión, no puede establecerse matemáticamente por medio de una fórmula o ecuación porque la relación funcional aunque existe no es siempre la misma. Ejemplo; La velocidad de un cuerpo que se desliza sobre otro, función del roce o frotamiento que hay entre los dos cuerpos. Al aumentar el roce disminuye la velocidad, pero no se conoce de un modo preciso la relación analítica que liga a estas variables. Muchas leyes físicas fuera de ciertos límites son funciones de esta clase.

Representación gráfica de las funciones:

Sistema rectangular de coordenadas cartesianas*: dos líneas rectas que se cortan constituyen un sistema de ejes coordenados. Si las líneas son perpendiculares entre sí tenemos un sistema de ejes coordenados rectangulares.  La línea X o eje de las abscisas, la línea Y  o eje de las ordenadas.  Los ejes dividen al plano del papel en cuatro partes llamadas cuadrantes.  *Así llamadas en honor del matemático francés René Descartes.

Gráfico de una función: Sea y =f(x). Sabemos que para cada valor de x corresponde uno o varios valores de y.  Tomando los valores de x como abscisas y los valores correspondientes de y como ordenadas, obtendremos una serie de puntos. En la práctica basta obtener unos cuántos puntos y unirlos convenientemente (interpolación) para obtener con bastante aproximación, el gráfico de la función.

Representación gráfica de la función de primer grado: 

Toda función de primer grado representa una línea recta y por eso se llama función lineal, y la ecuación que representa se llama ecuación lineal.

Lo que conveniente es  hacer una tabla dando los  valores de  1,2,3, 0, -1,-2 , -3 a X  ; haciendo los respectivos cálculos  de lo que equivale a Y sustituyendo en la ecuación los respectivos valores de X.  

Algunos principios:

• Toda función de primer grado representa una línea recta.
• Si la función carece de término independiente, o sea si es de la forma y= ax, donde a es constante, la línea recta que ella representa pasa por el origen.
• Si la función tiene término independiente, o sea si es de la forma ax + b, donde a  y  b son constantes, la línea recta que ella representa no pasa por el origen.

Ejemplo: Representar gráficamente la función  y = 2x

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