Continuación Inversa De Laplace

CONTINUACION

CLASE 12.

SEPTIEMBRE 6, 2013.

El principal interés es la naturaleza de los polos.

CASO I. Si todos los polos P_1,P_2,…,P_K de F(s) son distintos (diferentes entre ellos) se puede factorizar el denominador de F(s):

F(s)=N(s)/((s-P_1 )(s-P_2 )…(s-P_k))

Donde P_k es distinto de otros polos. Utilizando el método de expansión de fracciones parciales, F(s) se puede expresar como:

F(s)=r_1/(s-P_1 )+r_2/(s-P_2 )+r_3/(s-P_3 )+r_n/(s-P_k )

Donde r_1,r_2,r_3,…,r_n son los residuos, y P_1,P_2,P_3,…,P_k son los polos de F(s), raíces de D(s).

Para evaluar el residuo r_k, se multiplica F(s) en ambos lados de la evaluación por (s-P_k), entonces dejamos s→P_k, esto es:

r_k=lim┬(s→P_k )⁡〖(s-P_k )F(s)=├ (s-P_k )F(s)┤| ■(@s=P_k )〗

Ejemplo:

Encuentre f_1 (t):

Fs(t)=(3s+2)/(s^2+3s+2)

Solución:

P_1

Fs=r_1/(s+2)+r_2/(s+2)

P_2

Encontrar residuos:

r_1=lim┬(s→1)⁡〖((3s+2)/(s^2+3s+2))(s+1)=├ (3s+2)/(s+2)┤| ■(@s=1)=(3(-1)+2)/(-1+2)=-1/1=-1〗

r_2=lim┬(s→-2)⁡〖((3s+2)/(s^2+3s+2))(s+2)=├ (3s+2)/(s+1)┤| ■(@s=2)=(3(-2)+2)/(-2+1)=-(-4)/(-1)=4〗

P_3

Fs=-1/((s+1) )+4/(s+2)<=>[e^(-t)+4e^(-2t) ] U_o (t)=f_1 (t)

CASO II. Polos complejos.

A menudo los polos de un sistema dinámico son complejos. Son llamados polos complejos conjugados P_k y P_k^*. Se utiliza la misma metodología pero se utilizan argucias algebraicas.

Ejemplo:

Encuentre f_3 (t):

F_3 (s)=(s+3)/(s^3+5s^2+12s+8)

Solución:

P_1:Factorizar D_s (s)

F_3 (s)=(s+3)/(s+1)(s^2+4s+8)

F_3 (s)=(s+3)/((s+1)(s+2+j2)(s+2-j2))

CONTINUACION

CLASE 12.

SEPTIEMBRE 6, 2013.

El principal interés es la naturaleza de los polos.

CASO I. Si todos los polos P_1,P_2,…,P_K de F(s) son distintos (diferentes entre ellos) se puede factorizar el denominador de F(s):

F(s)=N(s)/((s-P_1 )(s-P_2 )…(s-P_k))

Donde P_k es distinto de otros polos. Utilizando el método de expansión de fracciones parciales, F(s) se puede expresar como:

F(s)=r_1/(s-P_1 )+r_2/(s-P_2 )+r_3/(s-P_3 )+r_n/(s-P_k )

Donde r_1,r_2,r_3,…,r_n son los residuos, y P_1,P_2,P_3,…,P_k son los polos de F(s), raíces de D(s).

Para evaluar el residuo r_k, se multiplica F(s) en ambos lados de la evaluación por (s-P_k), entonces dejamos s→P_k, esto es:

r_k=lim┬(s→P_k )⁡〖(s-P_k )F(s)=├ (s-P_k )F(s)┤| ■(@s=P_k )〗

Ejemplo:

Encuentre f_1 (t):

Fs(t)=(3s+2)/(s^2+3s+2)

Solución:

P_1

Fs=r_1/(s+2)+r_2/(s+2)

P_2

Encontrar residuos:

r_1=lim┬(s→1)⁡〖((3s+2)/(s^2+3s+2))(s+1)=├ (3s+2)/(s+2)┤| ■(@s=1)=(3(-1)+2)/(-1+2)=-1/1=-1〗

r_2=lim┬(s→-2)⁡〖((3s+2)/(s^2+3s+2))(s+2)=├ (3s+2)/(s+1)┤| ■(@s=2)=(3(-2)+2)/(-2+1)=-(-4)/(-1)=4〗

P_3

Fs=-1/((s+1) )+4/(s+2)<=>[e^(-t)+4e^(-2t) ] U_o (t)=f_1 (t)

CASO II. Polos complejos.

A menudo los polos de un sistema dinámico son complejos. Son llamados polos complejos conjugados P_k y P_k^*. Se utiliza la misma metodología pero se utilizan argucias algebraicas.

Ejemplo:

Encuentre f_3 (t):

F_3 (s)=(s+3)/(s^3+5s^2+12s+8)

Solución:

P_1:Factorizar D_s (s)

F_3 (s)=(s+3)/(s+1)(s^2+4s+8)

F_3 (s)=(s+3)/((s+1)(s+2+j2)(s+2-j2))

...