Convexidad

Capítulo 4

4. Derivación

4.1 Derivadas parciales 1

4.1.1 Derivadas en un punto 1

4.1.2 Derivadas en un abierto 2

4.1.2.1 Derivadas sucesivas

4.1.3 Cálculo de derivadas 4

4.1.3.1 Derivadas de funciones escalares de una variable

4.1.3.1.1 Derivadas de las funciones elementales

4.1.3.1.2 Reglas aritméticas

4.1.3.1.3 Regla de la cadena

4.1.3.1.4 Derivada de la función inversa

4.1.3.2 Cálculo de derivadas parciales de funciones escalares

4.1.3.3 Teorema de Schwarz

4.1.4 Matriz Jacobiana 6

4.1.4.1 Gradiente

4.2 Derivadas de funciones escalares de una variable 8

4.2.1 Interpretación geométrica 8

4.2.2 Propiedades de la derivada 8

4.2.3 Aplicaciones de la derivada 10

4.2.3.1 Cálculo de límites II

4.2.3.2 Monotonía

4.2.3.3 Extremos

4.2.3.3.1 Extremos relativos

4.2.3.3.2 Extremos absolutos

4.2.3.4 Concavidad y convexidad

4.3 Derivadas de funciones en varias variables 15

4.3.1 Diferencial 15

4.3.2 Regla de la cadena 16

4.3.3 Cambio de variable 16

4.3.4 Extremos 19

4.3.4.1 Extremos libres

4.3.4.2 Extremos condicionados

4.3.4.3 Extremos absolutos

Derivación

4.1. Derivadas parciales

4.1.1. Derivadas en un punto

Definición Sea con . Suponemos que contiene un entorno de .

Si existe , diremos que es derivables en respecto del vector y al valor de dicho límite le llamaremos derivada de en respecto del vector , y lo denotaremos por:

Nota Como para calcular y estudiar el límite de una función vectorial, basta con hacerlo para cada una de sus componentes, se tiene que para estudiar las derivadas de una función en un punto respecto de un vector, es suficiente estudiarlo para sus componentes.

Así es derivable en respecto de son derivables en respecto de . Además

Nota Obsérvese que el límite que define la derivada de respecto de un vector es un límite en una variable. Así pues, esta propiedad junto con la nota anterior, nos dice que para estudiar derivadas respecto de un vector, basta con estudiar límites de funciones escalares de una variable.

Ejemplo Sea , dada por:

Estudiemos

Casos particulares con un entorno de contenido en .

1. Si , entonces a se le llama derivada direccional de en respecto de .

2. Sea la base canónica de . Para cada . Llamaremos derivada parcial respecto de la derivada de en a la derivada de en respecto del vector , y se denotará por

Ejemplo

Calculemos sus derivadas parciales en

4.1.2. Derivadas en un abierto

Definición Sea un conjunto abierto y .

Sea . Diremos que es derivable en respecto de la variable si existe la derivada parcial .

Caso particular Si , se dice simplemente que es derivable en . Para estas funciones de una variable interesa sobretodo el caso en que es un intervalo abierto .

4.1.2.1 Derivadas sucesivas

, abierto. Supongamos que es derivable en respecto de la variable . Entonces podemos definir una función:

A la que llamaremos función derivada parcial de respecto de .

Supongamos que vuelve a ser derivable respecto de otra variable en . Podríamos definir una nueva función:

y si esta función vuelve a ser derivable respecto de la variable en , podríamos iterar el proceso. Estas son las derivadas parciales sucesivas de en .

Notación

1. Sea . Si existen, las derivadas de orden de en son:

derivadas parciales respecto a variables.

2. , si existen:

Caso particular

Para funciones escalar, si existen, solo hay una derivada para cada orden de derivación:

derivada primera

derivada segunda

derivada p-ésima

Definición Diremos que con abierto es de clase en , denotado por si existen todas las derivadas parciales de de orden 1 hasta y todas son continuas en . (Veremos más adelante que esto implica que también es continua en ).

Notación

1. significa que es continua en

2. significa que existen todas las derivadas parciales de cualquier orden y todas don continuas en .

4.1.3. Cálculo de derivadas

Veremos como para calcular derivadas parciales de funciones derivables en un abierto, basta con conocer las reglas de derivación para funciones de una variable.

4.1.3.1 Derivadas de funciones escalares de una variable

4.1.3.1.1 Derivadas de las funciones elementales

4.1.3.1.2 Reglas aritméticas

derivables en . intervalo abierto.

1.

2.

3.

4.

5. Fórmula de Leibniz:

4.1.3.1.3 Regla de la cadena

Sean intervalos abiertos

, con derivable en y derivable en .

Ejemplos

1.

2.

4.1.3.1.4 Derivada de la función inversa

Sean intervalo, inyectiva, derivable en con . Entonces es derivable en y

Ejemplo Sea .

Si

4.1.3.2 Cálculo de derivadas parciales de funciones escalares

Sea

Sea

Para calcular basta “derivar” como si fuese una función de una sola variable, , y el resto de las variables fuesen constantes.

Ejemplo:

4.1.3.3 Teorema de Schwarz

Teorema abierto si , entonces se puede intercambiar el orden de derivación en todas las derivadas desde el orden 2 hasta .

Ejemplo En el ejemplo anterior, , y vemos como

Nota El teorema de Schwarz se suele enunciar en otros términos, pero ésta que aquí hemos presentado será la versión que nos servirá durante este curso.

4.1.4 Matriz Jacobiana

Sea con componentes , derivable parcialmente en respecto de todas las variables.

Definiremos la matriz Jacobiana de en como:

Nota es una matriz de nos reales . Es una forma de “organizar” las derivadas parciales de .

Nota Si es abierto y admite todas sus derivadas parciales en todo , podemos definir la matriz de funciones:

Si , para obtener basta evaluar la matriz anterior en

Ejemplo

4.1.4.1 Gradiente

Si es escalar, la matriz Jacobiana es una matriz fila , donde existan todas las derivadas parciales:

A veces se representa esta matriz como un vector

y se le llama gradiente de en .

4.2 Derivadas de funciones escalares de una variable

4.2.1. Interpretación geométrica

Sea con intervalo abierto.

Definamos la derivada de en como el siguiente límite (si existe y es finito).

Haciendo un cambio de variable en dicho límite tendríamos

Esta escritura nos permite interpretar la derivada geométricamente. Si , la recta que pasa por ( y es:

en los ejes . Si ahora hacemos tender hacia tendríamos:

que tendría el significado de una “recta que corta la gráfica de sólo en: ”, es decir la recta tangente a en dicho punto:

4.2.2. Propiedades de la derivada

Proposición Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto.

Nota El recíproco de este resultado no es cierto como contraejemplo consideremos

Nota Cuando tengamos una función en cuya expresión aparezca el valor absoluto, puede haber problemas con la derivabilidad en los puntos donde se anule la expresión ó expresiones que están afectadas por el valor absoluto.

Proposición Sea continua en un entorno de , y derivable en y en . Supongamos que existen y y que son finitos. Entonces es derivable en y coincide además con el valor de dichos límites.

Ejemplo

Tenemos

Teorema de Rolle

Sea continua en y derivable en con . Entonces

Corolario

Si es continua en

...