Resolucion grafica, globalidad, concavidad convexidad.

Concavidad y convexidad

Se dice que  es convexa si, dado dos puntos cualesquiera de la gráfica de , el segmento  que los une nunca está por debajo de la gráfica de la función.[pic 1][pic 2]

 Es convexa en  si y solo  se cumple que:[pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

Se dice que  es estrictamente convexa si, dado dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función, el segmento que los une siempre está por encima de la gráfica de la función.[pic 7]

 Es N estrictamente convexa en  si y solo  se cumple que:[pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

Se dice que  es cóncava si, dado dos puntos cualesquiera de la gráfica de , el segmento  que los une nunca está por encima de la gráfica de la función.[pic 12][pic 13]

 Es cóncava en  si y solo  se cumple que:[pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

Se dice que  es estrictamente cóncava si, dado dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función, el segmento que los une siempre está por debajo de la gráfica de la función.[pic 18]

 Es N estrictamente cóncava en  si y solo  se cumple que:[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Propiedades de las Funciones Cóncavas y Convexas

Propiedades 1

Sea  una función definida sobre un conjunto  convexo y abierto de  y . Se cumple entonces:[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

1. La función  es convexa en  si y solo si [pic 27][pic 28]

[pic 29]

1. La función  es estrictamente convexa en  si y solo si [pic 30][pic 31]

[pic 32]

La función es cóncava en  si y solo si [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

1. La función  es estrictamente cóncava en  si y solo si [pic 37][pic 38]

[pic 39]

Propiedades 2

Si  son funciones convexas definidas sobre un dominio  convexo y  escalares no negativos, entonces la función  es una función convexa.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Propiedades 3

1. Si  es una función convexa de , entonces, el conjunto  es convexo para cada .[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]
2. Si  es una función cóncava de , entonces, el conjunto  es convexo para cada .[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

Propiedades 4

1. Si  es una función convexa de  y  es una función creciente y convexa, entonces, la composición  es una función convexa en .[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]
2. Si  es una función cóncava de  y  es una función creciente y cóncava, entonces, la composición  es una función cóncava en .[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

Propiedades 5

1.  es convexa en un dominio convexo si y solo si el conjunto , denominado epigrafo, es un conjunto convexo.[pic 62][pic 63][pic 64]
2.  es cóncava en un dominio cóncavo si y solo si el conjunto , denominado subgrafo, es un conjunto convexo.[pic 65][pic 66][pic 67]

Comprobación de concavidad convexidad

La concavidad de la convexidad estricta o no se puede definir (y comprobar) de varias maneras primero se introducirá una definición geométrica de concavidad convexidad para una función de dos variables . Similar a la versión de una variable analizada anteriormente.[pic 68]

Si la función  es cóncava (convexa) si y sólo si, para cualquier par de puntos distintos en M y N en su gráfica que es una superficie, el segmento de recta  toca o está abajo (arriba) de la superficie. La función es estrictamente cóncava (estrictamente convexa)[pic 69][pic 70]

Sí y sólo si el segmento de la recta   se ubica por completo abajo (arriba) de la superficie, excepto en M y N[pic 71]

El estudio de los conjuntos convexos y de las funciones convexa desempeñan un papel esencial en la teoría de la optimización son numerosos los problemas de optimización de tipo económico en donde la función a optimizar es cóncava o convexa (Chiang, 2006).

Dados dos puntos , se llama segmento cerrado de extremos  al subconjunto de puntos de [pic 72][pic 73][pic 74]

[pic 75]

Dado dos puntos , llamamos segmento abierto de extremos  al subconjunto de puntos [pic 76][pic 77][pic 78]

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