Coordenadas rectangulares

Coordenadas rectangulares

Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas. Descartes utilizó, para representar un punto en el plano, dos rectas perpendiculares entre sí. La posición del punto se lograba midiendo sobre los ejes las distancias al punto, de la manera que se puede ver en el dibujo.

Esta idea, la de representar la posición de un punto mediante coordenadas, es tan simple que no te explicas cómo no se descubrió antes.

Coordenadas en el plano

Cambio de sistema de referencia en coordenadas cartesianas.

Supongamos que conocemos las coordenadas cartesianas de un punto, respecto a unos ejes determinados y queremos saber las coordenadas de ese punto respecto a otro sistema de coordenadas. Se pueden presentar tres casos:

1 que los nuevos ejes estén desplazados respecto al antiguo.

Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y.

Sean (x0,y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'.

Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas coordenadas (x',y') son:

x ' = x0 + x

y ' = y0 + y

2 que los nuevos ejes estén girados respecto al antiguo.

Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y. Sea a el ángulo que se giran los ejes.

x ' = xcosa - ysena

y ' = xsena + ycosa

3 que los nuevos ejes estén girados y desplazados respecto al antiguo.

Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y.

Sean (x0,y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'.

Sea a el ángulo que se giran los ejes.

x' = x0 + xcosa - ysena

y' = y0 + xsena + ycosa

Nota de mi padre: No os aprendáis las fórmulas. Tenéis que comprenderlas. Si las sabéis de memoria y no las comprendéis no sirve de casi nada. Si os es más fácil aprender las fórmulas que comprenderlas, es mejor que elijáis la opción de letras.

Distancia entre dos puntos

Calcular la distancia entre dos puntos en el plano es muy sencillo. Si haces un

dibujo como el de la figura en seguida te das cuenta que la distancia horizontal entre los dos puntos es c - a y la distancia vertical es d - b, por lo tanto, como la distancia entre los puntos es la hipotenusa, la distancia será

Cambio de coordenadas cartesianas a polares

Si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto, las coordenadas polares de ese punto serán y  = arctg y/x

Coordenadas en el espacio

Cambio de sistema de referencia en coordenadas cartesianas.

Supongamos que conocemos las coordenadas cartesianas de un punto, respecto a unos ejes determinados y queremos saber las coordenadas de ese punto respecto a otro sistema de coordenadas. Se pueden presentar tres casos:

1 que los nuevos ejes estén desplazados respecto al antiguo.

Sean (x,y,z) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y-Z.

Sean (x0,y0,z0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y-Z respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'-Z'.

Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas coordenadas (x',y',z') son:

x = x0 + x'

y = y0 + y'

z = z0 + z'

2 que los nuevos ejes estén girados respecto al antiguo.

Sean (x,y,z) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y-Z. Sean a,b,c el ángulo que se gira el eje X' respecto a los ejes X-Y-X, sean d,e,f el ángulo que se gira el eje Y' respecto a los ejes X-Y-X, y sean g,h,i el ángulo que se gira el eje Z' respecto a los ejes X-Y-X.

x = x'cosa + y'cosd + z'cosg

y = x'cosb + y'cose + z'cosh

z = x'cosc + y'cosf + z'cosi

3 que los nuevos ejes estén girados y desplazados respecto al antiguo.

Sean (x,y,z) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y-Z.

Sean (x0,y0,z0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y-Z respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'-Z'.

Sean a,b,c el ángulo que se gira el eje X' respecto a los ejes X-Y-X, sean d,e,f el ángulo que se gira el eje Y' respecto a los ejes X-Y-X, y sean g,h,i el ángulo que se gira el eje Z' respecto a los ejes X-Y-X.

x = x0 + x'cosa + y'cosd + z'cosg

y = y0 + x'cosb + y'cose + z'cosh

z = z0 + x'cosc + y'cosf + z'cosi

Nota de mi padre: No os aprendáis las fórmulas. Tenéis que comprenderlas. Si las sabéis de memoria y no las comprendéis no sirve de casi nada. Si os es más fácil aprender las fórmulas que comprenderlas, es mejor que elijáis la opción de letras.

Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.

Coordenadas en el plano

El sistema más usado es de las coordenadas cartesianas, basado en un juego de ejes perpendiculares entre sí. Fue conocido con el nombre de René Descartes ("Dey-cart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números. Puede que esto ya le sea familiar

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