Sistemas De Coordenadas Rectangulares En El Espacio

Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio:

La geometría del espacio consiste en representar sobre el plano lo que se ve en el espacio. Por tanto, conviene tener muy claros los elementos fundamentales de la geometría del espacio, que son el punto, la recta y el plano

Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en el punto común 0. Como el punto en el espacio va a localizarse con referencia a estos elementos, los planos se llaman planos de coordenadas, las rectas de intersección de estos planos, ejes coordenados y el punto 0 origen del sistema de coordenadas rectangulares. Teniendo lo anterior estamos en libertad de designar los ejes coordenados como queramos. Se dice entonces que el sistema de coordenadas es de mano derecha

Cuando los ejes son X’X y Y’Y; en cambio, cuando están intercambiados, es decir, XX’ y YY’ se dice que es de mano izquierda.

Generalmente suele emplearse el primer sistema (de mano derecha).

Los ejes coordenados XX’, YY’ y ZZ’ se llaman,

Respectivamente, el eje X, el Y y el Z. Estos ejes son rectas dirigidas, cuya dirección positiva está indicada en cada punto por una flecha. Cada plano coordenado se designa por los dos ejes coordenados que contiene. Así, el plano coordenado que contiene al eje X y al eje Y se llama plano XY; análogamente, tenemos los planos XZ y YZ. Los tres planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El octante determinado por las partes positivas de los ejes coordenados se llama primer octante; no se acostumbra asignar ningún número a los siete octantes restantes.

En la práctica, para nuestros fines, será suficiente trazar solamente los ejes coordenados como indica la imagen presentada. Sea P un punto cualquiera del espacio. Su posición puede determinarse haciendo pasar por P planos paralelos a los tres puntos coordenados y considerando a los puntos A, B y C que se cortan en los ejes X, Y y Z, respectivamente. Estos planos, juntos con los coordenados forman un paralelepípedo recto rectangular. Evidentemente, la posición de P con relación al sistema de coordenadas está determinada por sus distancias a los planos coordenados. Estas distancias están dadas por las longitudes de los segmentos dirigidos OA, OB y OC, llamados x, y, z, respectivamente. Entonces los tres números reales x, y y z constituyen la coordenada x, la coordenada y y la coordenada z de P. Cada coordenada se mide a partir del origen O sobre el eje coordenado correspondiente, y es positiva o negativa según su dirección sea la misma o la opuesta a la dirección positiva del eje. Para el punto P, todas las coordenadas son positivas, y el punto está en el primer octante. Las coordenadas x, y, y z de cualquier punto P se escriben en ese orden, se encierran en un paréntesis y el punto se representa por P (X, Y, Z).

Un punto P en el espacio tiene una y solamente una terna de coordenadas(x, y, z) relativa a un sistema coordenado rectangular especificado. Recíprocamente, una terna de coordenadas (x, y, z) determina uno y solamente un punto P en el espacio con respecto a un sistema coordenado

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