Corrección del examen

Corrección del examen:

Cristian David Arbeláez Duque  C.C.1045024162

Alejandro Duque  Ciro      C:C 1037948688

1. Para el siguiente diagrama:

        a) Halle el valor de Ko que garantice un tiempo de estabilización de 5 segundos

[pic 1]

Primero se obtiene la función de transferencia  : G(s)= [pic 2]

Ahora si se tiene en cuenta la forma normalizada   y se calcula el valor de lamda  de la ecuación homogénea λa+b=0 se obtiene  λ= , luego si se aplica Laplace inversa y se lleva al dominio del tiempo la respuesta será de la forma  y(t)=K  y  τ=     pero como [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

 G(s)=  el valor de tao será  τ=∞  entonces nunca se estabilizara el sistema.[pic 7]

b) Si se asume Ko=2, grafique la respuesta del sistema ante una señal de entrada impulso  unitario

[pic 8]

Se puede observar que la respuesta ante el impulso del sistema es un escalón unitario con la ganancia K=2

2) Para el siguiente diagrama si se asume K0=2, grafique la respuesta del sistema ante una señal de entrada escalón unitario.

[pic 9]

[pic 10][pic 11]

Primero se obtiene la función de transferencia de lazo cerrado: G(s)==[pic 12][pic 13]

Luego Si ko=2     entonces       G(s)==      Si  R(s)=     que es un escalón unitario , entonces  la señal de salida en el dominio de S será:     Y(s)=[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Aplicando Laplace inversa se obtiene      Y(t)=    que representa la señal de una rampa, con una pendiente de 2/3.[pic 18]

Observación: Nuestro error al momento de resolver este punto, fue haber tratado de forzar llevar la función de transferencia a la forma estándar utilizada para los sistemas de primer orden : G(s)= y no  intentar aplicar el escalón unitario directamente.[pic 19]

3) Para el siguiente diagrama:

[pic 20]

1. Halle el valor de k0 y k2 que garantice un valor de estado estable de 1 y un tiempo de estabilización de 2.5 seg.

Primero se calcula la función de transferencia de lazo cerrado  y luego se lleva la función a la forma estándar para los sistemas de primer orden: G(s)=[pic 21]

G(s)=  =    [pic 22][pic 23]

Ahora K=1/k2  representa la ganancia del sistema  y será 1 entonces k2=1  y  

β=   es el valor de tao, aplicando el criterio de los     5β= 2.5 , que es el tiempo de estabilización del sistema se puede obtener el valor de tao   β =0.5 seg con este valor se puede  calcular ko: 0.5=       y se obtiene       k0=2   k2=1               [pic 24][pic 25]

1. Grafique la respuesta del sistema ante una señal de entrada impulso unitario. Indique los valores más representativos de la grafica.

[pic 26][pic 27][pic 28]

Se puede observar que = 2 representa la ganancia del sistema ante una señal impulso unitario y que aplicando el criterio de los 5 tao ,el tiempo de estabilización será  2.5 seg[pic 29]

4) Para el siguiente diagrama:

[pic 30]

1. Halle los valores b y K2 que garantice: un sobrenivel porcentual del 50% y una frecuencia natural de 1

Primero se obtuvo la ganancia de lazo cerrado:  G(s)= y se puede observar que es un sistema de segundo orden que cumplirá la forma estándar: G(s)=[pic 31][pic 32]

Ahora aplicando el valor de sobre pico O.P=     se obtiene         0.5=      el valor de fi  β = 0.2153     y como Wn=1 y se tiene la formula   k2=2*β*Wn     entonces       k2=0.4304 , luego se puede saber el valor de[pic 33][pic 34]

b: = b*k2      b=2.323  para por ultimo calcular la ganancia   K==0.43[pic 35][pic 36]

para un sistema suba mortiguado.

1. Grafiqie la respuesta del sistema ante una señal de entrada escalon unitario. Indicando los valores de todos los índices de comportamiento y su valor final.

[pic 37][pic 38][pic 39]

5) Para el siguiente diagrama:

[pic 40]

1. Halle el valor de K1 que garantice un factor de amortiguamiento del 0.5,(asuma b=4).

Primero se halla la función de transferencia de lazo cerrado y luego se lleva a la forma estándar : G(s)= = [pic 41][pic 42]

Luego se relacionan las formulas de la frecuencia natura Wn con la de el valor de fi β, para obtener el  valor de k1y  la ganancia K  para un sistema sub amortiguado.

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