Crecimiento Y Decrecimiento

ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

Se llama lineal de primer orden a toda ecuación de la forma

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se deben seguir un grupo de pasos para llegar luego a una E.D de variable separable que es resuelta de forma mucho más sencilla.

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.

En esta parte de la matemática estudiamos ecuaciones diferenciales de primer orden que rigen el crecimiento de varias especies. A primera vista parece imposible describir el crecimiento de una especie por medio de una ecuación diferencial, ya que el tamaño de una población no puede ser una función diferenciable con respecto al tiempo. Sin embargo, si el tamaño de una población es grande y se incrementa en uno, entonces el cambio es mi pequeño comparado con el tamaño de la población. Asi pues, se toma la aproximación de que poblaciones grandes cambian continuamente, e incluso de manera diferenciable, con respecto al tiempo.

El problema de valor inicial

Y la solución de esta ecuación es:

k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen crecimiento o de decrecimiento o desintegración.

En biología, se ha observado que en cortos periodos la rapidez de crecimiento de algunas poblaciones (como la de las bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en el tiempo t. Si conocemos una población en cierto tiempo inicial arbitrario , la solución de la ecuación propuesta nos sirve para predecir la población en el futuro – claro esta que es para . En física y en química, la ecuación anterior se usa en reacciones de primer orden, esto es, en

reacciones cuya rapidez o velocidad, , es directamente proporcional a la cantidad x de una sustancia que no se ha convertido, o que queda cuando el tiempo

es t. la desintegración o decaimiento del U 238 (uranio) por radioactividad, para convertirlo en Th 234 (Torio) es una reacción de primer orden.

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