Criptografía Y Algebra Lineal.

Universidad Central

Departamento de Matemáticas

Algebra Lineal

Lina María Castro Romero 96110517839

Grupo 5

Viernes 29 de agosto 2014

Tarea N° 1

APLICANDO EL ÁLGEBRA LINEAL A LA CRIPTOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN

La criptografía es el arte de enviar mensajes con una clave, un mensaje que no se puede entender sin la clave correcta. En la criptografía se puede aplicar el álgebra lineal, con conjuntos de números que forman matrices, se utilizaran diferentes matrices para poder entender un mensaje. Por medio de este trabajo busco introducir al lector un poco más allá de matrices junto a la criptografía.

EXPLICACIÓN TEÓRICA DE LA APLICACIÓN

Se va a utilizar el producto matricial para transformar un mensaje y repartirlo en matrices filas, para luego multiplicarlas por la matriz encriptadora, la cual tiene la característica de ser invertible.

También se hará una asignación de códigos donde se utilizara el signo ( - ) para referirnos a los espacios en blanco.

Primero se van a generar matrices fila de tamaño 1 * 3, cada una de estas matrices se va a multiplicar por la matriz encriptadora, donde se obtendrá una serie de matrices fila de tamaño 1 * 3 a las cuales luego, se les eliminará la notación matricial y quedara un conjunto de números, este es el mensaje clave.

Para descifrar el mensaje se tendrá que agrupar nuevamente en matrices fila de tamaño 1 * 3, estas matrices se multiplicarán por la inversa de la matriz encriptadora, y luego sustituimos con los códigos.

EJEMPLO

El mensaje es: “Iré al museo el domingo”

Tabla de asignación de códigos

- = 0 A = 1 B = 2 C = 3

D = 4 E = 5 F = 6 G = 7

H = 8 I = 9 J = 10 K = 11

L = 12 M = 13 N = 14 Ñ = 15

O = 16 P = 17 Q = 18 R = 19

S = 20 T = 21 U = 22 V = 23

W = 24 X = 25 Y = 26 Z = 27

A= Matriz encriptadora.

A= 2 -1 1

1 3 -1

1 2 1

(ire) (-al) (-mu) (seo) (-el) (-do) (min) (go-)

(9 19 5) (0 1 12) (0 13 22) (20 5 16) (0 5 12) (0 4 16) (13 9 14) (7 16 0)

Multiplicamos por A

(9 19 5) 2 -1 1 = (42 58 -5)

1 3 -1

1 2 1

(0 1 12) 2 -1 1 = (13 27 11)

1 3 -1

1 2 1

(0 13 22) 2 -1 1 = (35 83 9)

1 3 -1

1 2 1

(20 5 16) 2 -1 1 = (61 27 31)

1 3 -1

1 2 1

(0 5 12) 2 -1 1 = (17 39 7)

1 3 -1

1 2 1

(0 4 16) 2 -1 1 = (20 44 12)

1 3 -1

1 2 1

(13 9 14) 2 -1 1 = (49 42 18)

1 3 -1

1 2 1

(7 16 0) 2 -1 1 = (30 41 -9)

1 3 -1

1 2 1

Obtenemos: (42 58 -5) (13 27 11) (35 83 9) (61 27 31) (17 39 7) (20 44 12) (49 42 18) (30 41 -9)

Eliminando la notación matricial: 42 58 -5 13 27 11 35 83 9 61 27 31 17 39 7 20 44 12 49 42 18 30 41 -9

Tenemos el mensaje clave

Ahora lo descifraremos

Para descifrar el mensaje tendremos que volver a agrupar en matrices fila de tamaño 1 * 3 y estas multiplicarlas por la inversa.

(42 58 -5) (13 27 11) (35 83 9) (61 27 31) (17 39 7) (20 44 12)(49 42 18) (30 41 -9)

(42 58 -5) 0.45 0.27 -0.18 = (8.91 18.81 4.95)

-0.18 0.09 0.27

-0.09 -0.45 0.63

(13 27 11) 0.45 0.27 -0.18 = (0 1 11.88)

-0.18 0.09 0.27

-0.09 -0.45 0.63

(35 83 9) 0.45 0.27 -0.18 = (0 12.87 21.78)

-0.18 0.09 0.27

-0.09 -0.45 0.63

(61 27 31) 0.45 0.27 -0.18 = (19.8 4.95 15.84)

-0.18 0.09 0.27

-0.09 -0.45 0.63

(17 39 7) 0.45 0.27 -0.18 = (0 4.86 11.61)

-0.18 0.09 0.27

-0.09 -0.45 0.63

(20 44 12) 0.45 0.27 -0.18 = (0 3.96 15.84)

-0.18 0.09 0.27

-0.09 -0.45 0.63

(49 42 18) 0.45 0.27 -0.18 = (12.87 8.91 13.86)

-0.18 0.09 0.27

-0.09 -0.45 0.63

(30 41 -9) 0.45 0.27 -0.18 = (6.93 15.84 0)

-0.18 0.09 0.27

-0.09 -0.45 0.63

Tendremos como resultado:

(9 19 5) (0 1 12) (0 13 22) (20 5 16) (0 5 12) (0 4 16) (13 9 14) (7 16 0)

Sustituimos:

(ire) (-al) (-mu) (seo) (-el) (-do) (min) (go-)

Ejercicios

Frase 1 “Fuerte como un chovo”

(fue) (rte) (-co) (mo-) (un-) (cho) (vo-)

(6 22 5) (19 21 5) (0 3 16) (13 16 0) (22 14 0) (13 8 16) (23 16 0)

Multiplicamos por A

(6 22 5) 2 -1 1 = (39 70 -11)

1 3 -1

1 2 1

(19 21 5) 2 -1 1 = (64 52 3)

1 3 -1

1 2 1

(0 3 16) 2 -1 1 = (19 41 13)

1 3 -1

1 2 1

(13 16 0) 2 -1 1 = (42 35 -3)

1 3 -1

1 2 1

(22 14 0) 2 -1 1 = (58 20 8)

1 3 -1

1 2 1

...