Criterios De Convergencia

Criterios de Convergencia

– Criterio de cauchy para series -

“La serie Σxn en ℜ converge si y sólo si para todo número ɛ > 0 existe un número natural M ( ɛ)

tal que si m > n ≥ M (ɛ) , entonces

∣Sm − Sn ∣=∣ xn+1 + xn+2 +...+ xm∣ < ɛ . ”

Como la sucesión Sm toma valores en los naturales, podemos ver a esta suma parcial como una sucesión de numeros

naturales y como Sm converge ya que por hipotesis la serie Σxn converge, concluimos que Sm

es de Cauchy y si Sm es de Cauchy entonces esta suma parcial converge y la serie Σxn también.

Ejemplo: La serie Σn

=0

∞ 2n + 5

3n es convergente ya que

Σn

=0

∞ 2n + 5

3n = Σn

=0

∞

((23

)

n

+ 5(13

)

n

)

= Σ

n=0

∞

(23

)

n

+ 5Σn=0

∞

(13

)

n

= 1

(1−23

)

+ 1

(1−13

)

= 21

2

Como la serie es convergente entonces también es de Cauchy.

Ahora mostraremos que la serie Σn

=0

∞

(23

)

n

es de Cauchy por medio de la definición:

Sea ɛ > 0 , m >n y r =23

,

∣Sm − Sn ∣=∣1 − r m

1 − r − 1 − rn

1 − r ∣=∣1 − r m −1 + rn

1 − r ∣

=∣rn−rm

1 − r ∣ ≤ ∣ r ∣n +∣ r ∣m

∣1 − r ∣

≤ 2 ∣ r ∣n

∣1 − r ∣

< ɛ

luego,

∣ r ∣n

∣1 − r ∣

≤ ɛ2

n ln( ∣ r∣ )≤ ln( ɛ ∣1 − r∣

2 )

n ≥

ln( ɛ ∣1 − r ∣

2 )

ln( ∣ r ∣ )

= M ( ɛ)

De aqui que,

∣Sm − Sn ∣< ɛ , siempre que m > n ≥

ln ( ɛ ∣1 − r ∣

2 )

ln( ∣r ∣)

= M (ɛ)

Por lo tanto, Σn

=0

∞

(23

)

n

converge.

Criterio de la integral

Supongase que an = f (n)≥ 0 , donde f es una función es decreciente en

[1, ∞ ), entonces ,

1) La serie Σn

=1

∞

f (n) es convergente sii ∫

1

∞

f ( x)dx es convergente

2) La serie Σn

=1

∞

f (n) es divergente sii ∫

1

∞

f ( x)dx es divergente

Serie P

Σn

=1

∞ 1

np = 1 + 1

2p + 1

3p + 1

4p + ...

Si p = 1 tenemos que Σn

=1

∞ 1

np =Σn

=1

∞ 1n

, luego , esta serie es la serie armónica y

esta diverge.

Sea f ( x)= 1

x p , de aqui que tengamos los siguientes resultados:

1) Si p ≤ 0 la serie diverge por

...