Curvas De Nivel

2.1. Gráfica de z = f (x, y). Curvas y superficies de nivel.

La gráfica de una función de dos variables es un subconjunto de R3 y se define por

Graf (f ) = {(x, y, f (x, y))|(x, y) ∈ U } ⊂ R3

La gráfica de z = f (x, y) la denominamos superficie. Dibujar "a mano" una su- perficie es difícil y lo mejor es recurrir a un computador. Sin embargo, podemos hacernos una idea de cómo es una superficie (o por lo menos las más utilizadas en la práctica), viendo las curvas que se forman al cortar la superficie con planos paralelos a los planos coordenados, llamadas trazas. En particular, las trazas.

Con planos paralelos al plano xy se denominan curvas de nivel, que se obtienen intersectando la gráfica de f con los planos z = c (constante), esto es, la curva de nivel en el nivel c es el subconjunto del plano definido por

Lf (c) = {(x, y)|f (x, y) = c} ⊂ R2

Para las trazas con planos paralelos a los planos coordenados xz y yz hacemos

y = c y x = c. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.1.1 Sea f : R2 → R definida por

z = f (x, y) = x2 + y2 .

Dado un número real c, la curva de nivel al nivel c de f está dada por

Lf (c) = {(x, y) : x2 + y2 = c}.

Claramente si c < 0, Lf (c) = ∅ (vacío); si c = 0, Lf (c) = {(0, 0)}; para cualquier c > 0, los conjuntos de nivel son circunferencias con centro en el

origen de radio √c. La figura muestra las circunferencias concéntricas

En el ejemplo anterior, las curvas de nivel son círculos que se expanden a medida que aumentamos el valor de c. En la siguiente gráfica, a la derecha vemos una imagen tridimensional de estos círculos; cada uno de ellos está sobre el plano z = c.

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Sin embargo, esto no es suficiente. Necesitamos ver las trazas con los planos coordenados yz y xz. Para ver el corte con el plano yz, hacemos x = 0 en la función f ; tenemos entonces que dicho corte es la parábola z = y2 . Igualmente, para el corte con el plano xz, hacemos y = 0 para obtener la parábola z = x2 . Abajo puede verse la gráfica de dicha función, llamada paraboloide.

Ejemplo 2.1.2 Hagamos la gráfica de la función z = f (x, y) = px2 + y2 .

Las curvas de nivel están dadas por el conjunto

Lf (c) = {(x, y) : px2 + y2 = c} = {(x, y) : x2 + y2 = c2 }

esto es, círculos concéntricos de radio c.

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Observe que esta gráfica aparentemente es igual a la del paraboloide, sin em- bargo la gráfica de f no es un paraboloide como lo muestran los cortes con los

otros planos coordenados: Si x = 0, obtenemos z = py2 = |y|, esto es, las dos

rectas z = y y z = −y. De la misma manera, si y = 0 obtenemos las rectas

z = x, y z = −x. Vemos la gráfica abajo, que evidentemente es un cono.

Ejemplo 2.1.3 Veamos ahora la función z = y2 − x2 .

Las curvas de nivel son las hipérbolas y2 − x2 = c, como se observa en la figura abajo.

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Note que en el caso c = 0 obtenemos la hipérbola degenerada x2 = y2 que corresponde a las dos rectas y = x y y = −x.

El corte con el plano yz es la parábola z = y2 y el corte con el plano xz es la parábola z = −x2 . Esta gráfica se llama paraboloide hiperbólico o silla de montar y tiene

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