DEFINICION DE LA INTEGRAL DE REIEMANN

DEFINICION DE LA INTEGRAL DE REIEMANN

El cálculo integral tiene su origen en el estudio del área de figuras planas;

las fórmulas para el cálculo de las áreas de triángulos y rectángulos eran ya

conocidas en la Grecia clásica, así como la de los polígonos regulares previa

descomposición en triángulos.

El problema se plantea a la hora de calcular áreas de figuras limitadas por

líneas curvas. Euclides (300 a.C.) sigue los trabajos de Eudoxio (400-355 a.C.)

para calcular el área del círculo por el método de exhaución, es decir,

inscribiendo en él sucesivamente polígonos con más lados. La suma de estas

áreas se aproximaba cada vez más al área del círculo, estando en el «límite» el

valor exacto. Demostró además que, dados dos círculos de áreas 1 A y 2 A y

radios 1 r y 2 r , se verificaba que 2

2

2

1

2

1

r

r

A

A = y que A = kr2 , siendo k una

constante que Arquímedes llamó p y cuyo valor dijo hallarse entre

7

22

> p

>

71

223

. Arquímedes (287-212 a.C.) halló también el área encerrada por un arco

de parábola y la cuerda correspondiente, cosa realmente difícil en aquel tiempo,

ya que no se disponía del álgebra formalizada ni de la geometría analítica. El

método utilizado era el de agotamiento, esto es, se encaja el área entre dos

polígonos, uno inscrito en la región y otro circunscrito a la región

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

• Se representa por ∫ f(x) dx.

• Se lee: integral de x diferencial de x.

• ∫ es el signo de integración.

• f(x) es el integrando o función a integrar.

• dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

• C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

La integral de una constante es igual a la constante por x.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1)donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(Se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente

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