DESARROLLO DE LA PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD 3: FASE 5: DISCUSIÓN

100412_35

PRESENTADO POR:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo se realiza con el fin de aprender acerca del Estudio de series y funciones especiales, tales como: métodos de series de potencias de ecuaciones diferenciales, series de Taylor y Maclaurin, teorema de Frobenius, entre otros; abordando y llevando a cabo las soluciones de este, donde consta de 9 problemas y/o ejercicios resolviéndolos de manera diferentes, de acuerdo al material de apoyo presentado en el Entorno de conocimiento para la Unidad 3. Donde se resuelve individual 2 ejercicios cada uno de los cinco integrantes para subirlo al Foro de Trabajo Colaborativo; luego en grupo se realiza las dos actividades grupales con situaciones de aplicación de las Ecuaciones diferenciales de primer orden y Ecuación diferencial con coeficientes no polinomiales utilizando la serie de  Maclaurin, además se realiza retroalimentación para dar una mejor solución del trabajo colaborativo.

OBJETIVOS

• Aplicar todos los conocimientos para realizar el Estudio de series y funciones especiales
• Identificar las series de Taylor y Maclaurin
• Realizar ejercicio de acuerdo al teorema de Frobenius
• Retroalimentar los problemas y/o ejercicios resueltos por cada estudiante

DESARROLLO DE LA PRIMERA ACTIVIDAD INDIVIDUAL

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D.  Una vez la seleccione, márquela  con un  óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.

Responda las preguntas 1 y 2 con base a la siguiente información.

1. Un método alternativo para hallar soluciones con series de potencias de ecuaciones diferenciales como: , alrededor de un punto ordinario x = 0 es el método de la serie de Taylor. Este método usa los valores de las derivadas evaluadas en el punto ordinario, los cuales se obtienen de la ecuación diferencial por diferenciación sucesiva. Cuando se encuentran las derivadas, usamos luego la expansión en serie de Taylor[pic 1]

[pic 2]

Dando la solución requerida. Considerando lo anterior, la solución para la ecuación  es:[pic 3]

1. [pic 4]
2. [pic 5]
3. [pic 6]
4. [pic 7]

Respuesta:

Suponemos [pic 8]

Luego tomamos la función para  empezar a derivar y a reemplazar

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

La aproximación de Taylor viene dado por

[pic 12]

Por lo tanto tenemos[pic 13]

[pic 14]

1. Al emplear el método de series de potencia, la solución del problema de valor inicial de la ecuación dada  es:[pic 15]

1. [pic 16]
2. [pic 17]
3. [pic 18]
4. [pic 19]

Respuesta:

Sustituyendo

[pic 20]

Derivando “y”

[pic 21]

[pic 22]

Reemplazando en la ecuación diferencial

[pic 23]

Desarrollando (4)

[pic 24]

[pic 25]

Tomamos el primer término de  (6)

[pic 26]

Decimos que

[pic 27]

[pic 28]

Sustituimos (8) en (7)

[pic 29]

[pic 30]

Ahora tomamos el segundo término de (6) asumiendo , entonces[pic 31]

[pic 32]

Tomamos el tercer término de (6), hacemos [pic 33]

[pic 34]

Se sustituye (9) (10) y (11) en (6)

[pic 35]

Se evalúa el primer y el tercer término en  [pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Se reagrupa la ecuación (13)

[pic 39]

Se iguala a “0” los términos de (14)

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Sabemos que [pic 43]

[pic 44]

Despejamos  de (15)[pic 45]

[pic 46]

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A partir de la ecuación (16) se determinan los demás términos

Para [pic 48]

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[pic 51]

Para [pic 52]

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[pic 54]

[pic 55]

Para [pic 56]

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Para [pic 60]

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Para [pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

Para [pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

Sabiendo que la solución general es

[pic 71]

[pic 72]

Reemplazando [pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

Reemplazando [pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

Se pide la solución con los valores iniciales , entendiéndose como  y [pic 79][pic 80][pic 81]

Luego

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

Por tanto la solución de la ecuación es:

...