DICCIONARIO DE ÁLGEBRA LINEAL

GLOSARIO: DICCIONARIO DE ÁLGEBRA LINEAL

Autovalor λ y autovector x. Ax = λx, siendo0x=/, de modo que det(A - λI) = 0.

Base de V. Vectores independientes v1, ..., vd, cuyas combinaciones lineales dan como resultado todas las v de V. ¡Un espacio vectorial tiene muchas bases!

Base estándar para Rn. Columnas de la matriz identidad de n por n (expresadas como i, j, k en R3).

Cociente de Rayleigh q(x) = xTAx /xTx para una matriz simétrica A: λmin < q(x ) < λmax. Los autovectores x alcanzan dichos extremos para λmin(A) y λmax(A).

Cofactor Cij. Eliminar la fila i y la columna j; multiplicar el determinante por (- 1)i+j .

Columnas libres de A. Columnas sin pivotes; combinaciones de anteriores columnas.

Columnas pivote de A. Columnas que contienen pivotes tras una reducción por filas; no son combinaciones de anteriores columnas. Las columnas pivote conforman la base del espacio de columnas.

Combinación lineal cv + dw o .jjcvΣ Suma de vectores y multiplicación de escalares.

Complemento de Schur S = D – CA-1B. Aparece al realizar la eliminación por bloques en []DCBA.

Condicionamiento de la matriz A. 1max.min.()()dAkAAAconσσ−===En Ax = b, la perturbación relativa xxδ es menor que cond(A) veces la perturbación relativa bbδ. El condicionamiento de la matriz mide hasta qué punto la salida es susceptible de cambiar en función de los datos de entrada.

Conjugado complejo. zai=− bpara cualquier número complejo zaib=+. De ahí 2zzz=.

Conjunto conectado (Spanning set) v1, . . . , vm para V. Todos los vectores de V son combinaciones de v1, . . . , vm.

Cuatro subespacios fundamentales de A = C(A), N(A), C(AT), N(AT).

Dependencia lineal v1, . . . , vn. Una combinación distinta de todas las ci = 0 da como resultado Σ. iicv

Descomposición de valor singular (SVD) A = UΣVT = (U ortogonal) por (diagonal Σ) por (VT ortogonal). Las primeras columnas r de U y V son bases ortonormales de C(A) y de C(AT), siendo Avi = σiui y el valor singular σi > 0. Las últimas columnas de U y V son bases ortonormales de los espacios nulos de AT y A.

Descomposición polar A = QH. Q ortogonal, H (semi)definida positiva.

Desigualdad de Schwarz. vwvw⋅≤. Entonces()()TTTvAwvAvwAw≤si A = CTC.

Desigualdad triangular uvuv+≤+. Para las normas matriciales ABAB+≤+.

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2 Glosario

Determinante det()AA=. Se define de la siguiente manera: el det I = 1, el signo cambia al intercambiar filas y en todas las filas se cumple la linealidad. El 0A= cuando A es singular. Asimismo, ABAB=y 11AA−= y TAA=. La fórmula extendida del det(A) consiste en una suma de n! elementos, el método de desarrollo por cofactores (cofactor formula) utiliza determinantes de tamaño n – 1, siendo el volumen del paralelepípedo det()A=.

Diagonalización Λ = S-1AS. Λ = matriz de autovalores y S = matriz de autovectores. A tiene que tener n autovectores independientes para que S sea invertible. Toda Ak = SΛk S-1.

Dimensión del espacio vectorial. dim(V ) = número de vectores en cualquier base para V.

Ecuación característica. Det()0AIλ−=. Las n raíces son los autovalores de A.

Ecuación normalTˆ T AAxAb=. Da la solución por mínimos cuadrados de Ax = b si A es de rango n. La ecuación dice que (columnas de A)()ˆbAx 0 −=.

Eigshow. Autovalores y valores singulares gráficos de 2 por 2 (código de MATLAB o Java).

Eliminación. Secuencia de operaciones de filas que reduce A a una matriz triangular superior U o a la forma reducida R = rref(A). Entonces A = LU con los multiplicadores en L, o PA = LU con intercambios entre filas en P , o EA = R siendo E una matriz invertible. ijl

Elipse (o elipsoide) xTAx = 1. A tiene que ser una matriz definida positiva; los ejes de la elipse son vectores propios de A, con longitudes 1λ. (Para 1x= los vectores y = Ax se sitúan en la elipse 21TT1()AyyAAy− 1 − == que crea el código eigshow; longitud de los ejes = σi.)

Espacio de columnas de C(A). Espacio de todas las combinaciones de las columnas de A.

Espacio de filas C(AT) = todas las combinaciones de las filas de A. Vectores de columna por convenio.

Espacio nulo N(A) = Soluciones para Ax = 0. Dimensión n - r = (# columnas) - rango.

Espacio nulo por la izquierda N(AT). Espacio nulo de AT = “espacio nulo por la izquierda” de A porque yTA = 0T.

Espacio vectorial V. Conjunto de vectores tal que todas las combinaciones cv + dw permanecen en V. En la sección 3.1 aparecen ocho reglas obligatorias para cv + dw.

Espectro de A = conjunto de autovalores {λ1, . . . ,λn}. Radio espectral = .maxλ.

Exponencial eAt = I + At + (At)2/2! + ... tiene como derivada AeAt; eAtu(0) resuelve u ' = Au.

Factorización de Cholesky. T()( T) ACCLDLD== para una matriz definida positiva A.

Factorización LU. Si la eliminación conduce a U a partir de A sin intercambios de filas, la triangular inferior L con los multiplicadoresijλ(y =iiλ 1) convierte a U de nuevo en A.

Factorizaciones simétricas A = LDLT y A = QΛQT . El número de pivotes positivos en D y de autovalores positivos en A es el mismo.

Forma de Jordan J = M-1AM. Si A tiene s autovectores independientes, su matriz “generalizada” de autovectores M da J = diag(J1, . . . , Js). El bloque Jk es λkIk + Nk, donde todos los elementos de la diagonal 1 de Nk son unos. Cada bloque tiene un autovalor λk y un autovector (1, 0, . . . , 0).

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Glosario 3

Forma escalonada reducida por filas R = rref(A). Pivotes = 1; ceros por encima y por debajo de los pivotes; r filas distintas de cero de R conforman una base para el espacio de filas de A.

Fórmula extendida para determinantes de n por n. Det(A) es una suma de n! elementos, uno por cada permutación P de las columnas. Ese elemento es el producto de a1α, ..., anω de arriba abajo de la diagonal de la matriz reordenada, alternativamentedet()1P=±.

Giro parcial (Partial pivoting) . En una eliminación, se elige como j-ésimo pivote al elemento disponible con un valor absoluto más alto de la columna j. Entonces, en todos los multiplicadores 1ij≤l. El error redondeado (redondeo del error) está controlado (depende del condicionamiento de A).

Grafo G. Conjunto de n nodos conectados por m aristas dos a dos. Un grafo completo tiene todas las aristas n(n - 1)/2 entre sus nodos. Un árbol sólo tiene n - 1 aristas y no contiene ciclos. En un grafo dirigido, cada arista tiene una flecha de dirección.

Inversa de una matriz A-1. Matriz cuadrada de modo que A-1A = I y AA-1 = I. No existe la inversa si det A = 0, rang(A) < n y Ax = 0 para un vector x distinto de cero. Las inversas de AB y AT son B-1A-1 y (A-1)T. Método de desarrollo

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