DISCUSIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS POR MEDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES - ENTREGA DE LA ACTIVIDAD

FASE 5

 DISCUSIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS POR MEDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES - ENTREGA DE LA ACTIVIDAD

Estudiantes:

OSCAR JAVIER BONILLA

DAVID SANTIAGO BERNAL

DIEGO ALEXANDER BOTIA

CARLOS ANDRES AVILA

MANUEL ENRIQUE PRIETO

Grupo

100412A_474

TUTOR:

JORGE ENRIQUE TABOADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD

ECUACIONES DIFERENCIALES

NOVIEMBRE 2018

INTRODUCCIÓN

En este documento se realiza con el fin de evidenciar las labores en la temática 3 aplica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de primer orden, dirigidos a la construcción de un conocimiento de manera autónoma con el fin de dar solución a problemas relacionados con la ingeniera y situaciones cotidianas

OBJETIVOS

Objetivo general.

Demostrar en forma correcta por cada estudiante los ejercicios desarrollados en la unidad tres de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias. Es decir, aplicar los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de primer orden, dirigidos a la construcción de un conocimiento de manera autónoma con el fin de dar solución a problemas relacionados con la ingeniera y situaciones cotidianas

Objetivos específicos

Saber cuáles son las ecuaciones diferenciales serie de potencias

Funciones especiales y series matemáticas

Aplicación de los temas de ecuaciones

SOLUCION DE LOS EJERCICIOS PLANTEADOS

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta.

Teniendo en cuenta la siguiente información conteste las preguntas 1, 2 y 3.

Para una serie de potencias dada  hay sólo tres posibilidades: i) La serie converge sólo cuando x=a. ii) La serie converge para toda x y iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge para  y diverge para .  [pic 1][pic 2][pic 3]

El número R en el caso (iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias.

Obsérvese que la desigualdad  se puede reescribir de nuevo como    [pic 4][pic 5]

Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos  y de este intervalo.[pic 6][pic 7]

1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de  converge la serie de potencias?[pic 8]

[pic 9]

Criterio de convergencia

[pic 10]

Intervalo

[pic 11]

[pic 12]

Converge o diverge

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

La serie converge si el valor absoluto

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

1. La serie converge solo cuando x=2
2. La serie converge absolutamente para   lo que equivale a [pic 22][pic 23]
3. La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  -[pic 24][pic 25]
4. La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  -[pic 26][pic 27]

1. El radio de convergencia de la serie de potencias es

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Se realiza el método Ltlopital

[pic 33]

Converge si [pic 34]

1. [pic 35]
2. [pic 36]
3. [pic 37]
4. [pic 38]

3.El radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie es:

[pic 39]

1. Conjunto (-1, 1)  [pic 40]
2. Conjunto (-1/2, 1/2]  [pic 41]
3. Conjunto {0}   0[pic 42]
4. Conjunto [-1/2, 1/2]  [pic 43]

Si es R el radio de convergencia entonces

Usamos el criterio de la razón

[pic 44]

[pic 45]

Hacemos productos de medios por productos de extremos y desdoblamos términos

Es igual

[pic 46]

Cancelamos términos

[pic 47]

Pasamos las raíces a un mismo punto y el -2 por las barras de valor absoluto de vuelve 2

[pic 48]

Vamos a sacar el limite

[pic 49]

Dividimos entre n en cada lugar

[pic 50]

Cancelamos los valores de n

[pic 51]

Sabemos que cualquier raíz de 1 es 1

[pic 52]

Sabemos el limite

[pic 53]

Planteando el ejercicio nos queda

[pic 54]

Ahora resolvemos la desigualdad y lo que hacemos es dividir 2 en ambos lados

[pic 55]

Resolvemos y sabemos que el valor absoluto de x es

[pic 56]

Trasformamos el valor absoluto

[pic 57]

Estos son los intervalos de convergencia

Y también sabemos que el radio de convergencia es [pic 58]

Conclusión la respuesta para el problema es  d Conjunto [-1/2, 1/2]  [pic 59]

4.La solución general en series de potencias de la ecuación diferencial  es:[pic 60]

1. [pic 61]
2. [pic 62]
3. [pic 63]
4. [pic 64]

aplicamos la formula general de los radicales

[pic 65]

Le damos los valores

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

Remplazamos en la formula

[pic 69]

Resolvemos los valores

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

Trasformamos la expresión

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

...