Demostración

Demostración[editar]

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos de tipo ε-δ más delicados.2 4

Como g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c, se tiene que g(x)≠0 si x≠c como consecuencia del Teorema de Rolle.

Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos x y c, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

\cfrac{f(x)}{g(x)} =

\cfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} =

\cfrac{f'(t_x)}{g'(t_x)}

Cuando x tiende hacia c, por la regla del sandwich, tx también tiende hacia c, así que:

\lim_{x \to c} \cfrac{f(x)}{g(x)} =

\lim_{x \to c} \cfrac{f'(t_x)}{g'(t_x)} = L

Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa.

Ejemplos[editar]

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla[editar]

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} =

\cfrac{0}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}

\quad \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad

\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}

= \frac{1}{1}

= 1

Aplicación consecutiva[editar]

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin(x)}

\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})-2}{1-\cos(x)}

\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\sin(x)}

\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad

\lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})}{\cos(x)} =

\frac{e^0+e^{-0}}{\cos(0)} =

\frac{1+1}{1} = 2

...