Derivación introducción y generalidades

Derivación introducción y generalidades

Chicaiza Daniel

Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE-EL

dichicaiza2@espe.edu.ec 

Tema: Derivación introducción y generalidades

Resumen

En este documento veremos la definición introducción y las generalidades de la derivada el cual es hallar el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva primitiva siempre que la función sea continua, además veremos los diferentes tipos de derivadas como derivadas por incrementos, algebraicos, trigonométricos, logarítmicas y exponenciales los gráficos y ecuaciones de cada uno de ellos.

1. Introducción

En otras palabras, la derivada de una función cambia la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente, además de eso también veremos las generalidades y las reglas que debe y tiene la derivada.

[pic 1]

Figura [1] Interpretacion geometrica de la derivada

(Pinzon, 2005)

Tambien veremos la derivada por incrementos que dise que cuando una variable pasa de un valor a otro valor, se dice que dicha variable ha sufrido un incremento. El incremento que sufre una variable al pasar de un valor a otro, se obtiene restándole al valor final el valor inicial de la variable; si el incremento resulta negativa, se llama: decremento. (Varo, 2013)

Cuando una variable pasa de un valor a otro se obtiene de una ecuacion el cual es el valor final menos el valor inicial de la variable en donde el incremento resulta negativa a lo que llamamos decremento

Las derivadas algebraicas consisten en el estudio de la derivada en el caso particular de funciones algebraicas. El origen de la noción de derivada se remonta a la Antigua Grecia. El desarrollo de esta noción estuvo motivada por la necesidad de resolver dos problemas importantes, uno en física y otro en matemáticas.

Las derivadas trigonometricas tambien veremos las diferentes seis funciones existen las cuales son seno, coseno, tangente cotangente, secante y cosecante. Son las funciones trigonometricas que existen y tambien veremos ejemplos y graficos. (Rodriguez, 2018)

Veremos tambien la derivadas exponenciales y logaritmicas, la derivada de una funcion exponencial es igual a la misma funcion por el logaritmo de la base y por la derivada del exponente. Y en la derivada de un logaritmo en base a  es igual a la derivada de la funcion dividida y por el logaritmo de base a de e.

2.-Desarrollo

2.1.- Derivación Introducción y Generalidades  

La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. La derivada de una función está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada.

Esta línea, está colocada sobre el punto más extremo (superior o inferior) de la curva, por lo que a su vez está determinando un límite al que la función llega, en relación al incremento que consiga la variable estudiada por las alteraciones que reciba.

Se enuncia de primero todo lo relacionado con el campo matemático de la derivada ya que su importancia a la hora de un cálculo o un gráfico es notable, es un concepto muy rico en el área y muy usado por estudiantes de ingeniería, los cuales las emplean como herramienta de cálculo para el estudio. Sin embargo, la palabra al ser utilizada como un adjetivo, describe una situación en la que se denota él lugar o contexto de donde proviene algo. (Rios, 2012)

En otras palabras, la derivada es muy utilizado en la matemática y en la física lo cual es usado para calcular las respuestas de una función a la que se le cambia sus valores iniciales, y en una función que está representado gráficamente donde una recta tangente superpuesta por una curva es a ello lo que llamamos derivada.

[pic 2]

Figura [2] La derivada representada gráficamente   (Metro, 2015)

Reglas de la derivación

Regla de derivación general:

                                                                                                                                                         (1)                                                       [pic 3]

Derivada de una suma:

[pic 4](2)

Derivada de un producto:

[pic 5](3)

Derivada de un cociente:

[pic 6](4)

Derivada de una constante:

[pic 7](5)

Regla de la cadena:

[pic 8](6)

(Prado, 2006)

Derivadas por incremento.

Derivada por los cuatro pasos

Derivada de una función

Definición:

La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero. Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la Derivación que consta de cuatro pasos:

Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.

En la derivada por incremento se debe al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero y el cual tiene cuatro pasos: primero se sustituye en la funcion X por la ecuacion vista despues se resta a la funcion original, luego se divide la nueva ecuacion entre la variable independiente y por ultimo se calcula el limite cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.

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