Derivadas En Economia

Aplicación de las derivadas en la administración e interpretación

La función de demanda Qd=f(P) con P como el precio del producto dQ/dP es la variación de la demanda por cambios en el precio y la elasticidad precio de la demanda se define como E=dQ/dP*P/Q. También se aplican las derivadas para calcular la Utilidad Marginal; Producto marginal; Beneficio marginal y todo caso que diga marginal utilizan el concepto de derivada monovariable.

También se emplean derivadas de funciones multivariadas, generalmente parciales con respecto a alguna de las variables. Si tienes una función de mercado multivariada puedes aplicar las derivadas para analizarla.

Si se tiene una función y se quiere encontrar su máximo o mínimo se hace la primera derivada = 0 y para determinar si es un máximo un mínimo se hace la evaluación de la segunda derivada.

Aplicaciones a la Economía:

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.

El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:

D = (p(t)),p´(t)

Llamamos la función de demanda.

Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:

S = g(p(t), p´(t)

Llamamos g a la función oferta.

Principio económico de la oferta y la demanda:

El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:

(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))

Las formas que debería tener y g son las siguientes:

D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3

S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3

donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:

A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3

(A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3

Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:

p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2

Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado:

p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e

Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.

Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.

Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e que el precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo que Po > (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.

Ejemplo:

La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.

Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,

48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18

Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e

De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.

Inventarios:

Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario.

Formulación Matemática:

Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces q(t + "t) = q(t) + "q es la cantidad disponible en tiempo t + "t. Así tenemos que:

Cantidad acumulada en intervalo t a t + "t = "q = q(t + "t) - q(t).

S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t.

D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t.

Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +"t están dados aproximadamente por S"t y D"t respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran ("t)² y mayores.

Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + "t es igual a:

S"t - D"t + términos con ("t)² o mayores.

Así "q/"t = S - D + términos con ("t)² o mayores.

tomando el limite cuando "t!0, dq/dt = S - D.

De esta última ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior análisis sobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que

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