Derivadas

Funciones Vectoriales

Definición: Una función vectorial es aquella cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. Esto quiere decir que podemos definir la función como:

( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗

Ejemplo: Si ( ) ( ( ) √ )

entonces las funciones componentes son

( ) ( ) ( ) ( ) √

De acuerdo con la convención usual, el dominio de consta de todos los valores de para los cuales la expresión ( ) está definida, por tanto todas expresiones ( ) √ están definidas para cuando

Por tanto el dominio es [ ⟩.

Observación:

1. Si ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗

entonces las ecuaciones paramétricas de esta curva están dadas por:

( ) ( ) ( )

2. El segmento de línea de se determina mediante la ecuación vectorial

( ) ( )

MATEMATICA IV

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Ejemplo: Trace la curva cuya ecuación vectorial es

( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗

Solución:

Las ecuaciones paramétricas para esta curva son

Puesto que la curva debe estar en el cilindro circular . El punto ( ) se ubica directamente arriba del punto ( ) el cual se desplaza en el sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor del círculo en el plano . Como , la curva se dirige en espiral hacia arriba

siguiendo la forma del cilindro a medida que se incrementa. La curva se llama hélice.

La hélice es conocida porque se parece a los resortes. También se encuentra en el modelo del ADN, la estructura de la molécula del ADN es como un par de hélices paralelas pero conectadas.

MATEMATICA IV

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Ejemplo: Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas del segmento rectilíneo que une el punto ( ) con el punto ( )

Solución:

La ecuación vectorial para el segmento rectilíneo viene dado por

( ) ( )

donde ( ) y ( ) luego la ecuación vectorial que une los puntos resulta

( ) ( )( ) ( ) ( )

de modo que las ecuaciones paramétricas correspondientes son

Si ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ donde son funciones derivables entonces

( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗

Ejemplo: Calcule la derivada de

( ) ( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗

Solución:

Se deriva cada componente de : ( ) ⃗ ( ) ⃗ ⃗⃗

MATEMATICA IV

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Observación:

1. Al vector ( ) se le denomina vector tangente a la curva descrita por la curva ( ) en el punto siempre que ( ) exista y ( )

2. La recta tangente a ( ) en el punto se define como la recta que pasa por y que es paralela al vector tangente ( ) .

3. El vector unitario tangente es: ( ) ( )| ( )|

4. Al igual que las funciones de valores

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