Desarrollo: Números Reales

Desarrollo:

Números Reales:

En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euleren el siglo XVIII.1

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.2 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

1. La recta real:

En matemática, la recta real extendida o recta real acabada, es un espacio métrico que se obtiene a partir de los números reales [pic 1] por la añadidura de dos elementos: [pic 2] y [pic 3] (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: [pic 4] (punto del infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales.

La recta real extendida se denota por [pic 5] o bien [pic 6]; es utilizada para describir varios límite en cálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración.

Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo [pic 7] se escribe simplemente [pic 8].

1. Operaciones definidas en R:

En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones, que llamaremos adición y multiplicación.

Decir que la adición y la multiplicación son operaciones definidas en el conjunto de los números reales significa que si dos números reales se relacionan mediante alguna de estas dos operaciones el resultado en un número real.

1.  Propiedades

1. Cerradura, la suma o multiplicación de dos números reales, siempre da un número real. Ejemplo: Sean a, b e R
   
   a + b e R (a) (b) e R
    
2. Conmutativa, El orden en que se agrupen los sumandos o factores, no altera el resultado de la operación. Ejemplo: Sí se tiene que:
   
   a, b € R a + b = b + a (a) (b) = (b) (a)
    
3. Asociativa. La suma o la multiplicación, no se alteran, por la forma en que se agrupen los sumandos o factores, respectivamente.
   
   Ejemplo : Sean a, b, c e R Entonces: a + (b+c) = (a+b) + c
   a (b c) = (a b) c
    
4. Neutro aditivo. Se define con este nombre al número cero, ya que cuando se suma con cualquier número real, el resultado es el mismo número.
   
   Ejemplo: Sí a e R
   entonces : existe un elemento 0/ 0 e R de tal forma que: a + 0 = 0 + a = a
    
5. Neutro multiplicativo. Se define con este nombre, al número uno, ya que todo número multiplicado por uno, da el mismo número.
   
   Ejemplo: Sí a e R
   entonces: existe un elemento 1/1 eR
   de tal forma que: (1)(a) = (a)(1) = a
    
6. Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: Cuando se multiplica una suma por el mismo factor, el resultado que se obtiene es el mismo, que si se multiplica cada sumando por el factor común y después se suman.
   
   Ejemplo: Sean a, b, c e R Entonces: a(b + c) = ab + ac

Valor absoluto de un número real:

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

[pic 9]

|5| = 5   |-5 |= 5   |0| = 0

|x| = 2   x = −2   x = 2

|x|< 2    −2 < x < 2   x [pic 10] (−2, 2 )

|x|> 2  x < −2 ó x > 2    (−∞, −2 ) [pic 11] (2, +∞)

|x −2 |< 5   − 5 < x − 2 < 5

− 5 + 2 < x <  5 + 2  − 3 < x < 7

Propiedades:

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

Ejemplo:

|5| = |−5| = 5

2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

Ejemplo:

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|

|−10| = |5| · |2|

10 = 10

3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

...