Desarrollo de la Determinación del área de la tierra

Una posible idea de Eratostenes en la Determinación del Área de la Tierra

Eratostenes supuso que los rayos del sol llegan en forma paralela a la tierra el día en el cual el sol esta justo sobre la ciudad de Siena, los rayos inciden perpendicularmente a la superficie de la tierra en ese punto, el cual tiene la misma dirección que el radio de la tierra que une esta ciudad con el centro de la esfera terrestre, por tanto siendo:[pic 1]

A= Alejandría

S=Siena

R=radio de la tierra

θ= el ángulo

Según la experimentación de Eratostenes, este coloco una torre en la ciudad de Siena el día 21 de junio, en el cual no se proyectaba sombra, y en ese momento ese mismo día en la ciudad de Alejandría colocando una torre similar y en la cual si se proyectaba sombra.

[pic 2]

De igual manera que en el punto S, en el punto A la torre es perpendicular a la superficie de la tierra por tanto tiene la dirección del radio que une al centro de la tierra con el punto A.

Determino que por ser los ángulos θ y θ' alternos internos tienen el mismo valor.

Tomando utensilios de la época determino:

el ángulo θ es , quiere decir que en una circunferencia de 360°[pic 3]

teniendo el ángulo formado y sabiendo que θ=θ', la distancia que debía conocer seria la distancia entre S y A; que una vez medido seria 5000 estadios.[pic 4]

Las 2 teorías

I)

[pic 5]

 [pic 6][pic 7]

II)

utilizando algunos instrumentos de la época como el gnomo y el Scaphe encontró un ángulo α siendo de 82,8° y sabiendo que en un triangulo la suma de sus ángulos es igual a 180° entonces:[pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Sabiendo que d=5000est; y 1est=185m y teniendo que 360°/7,2°=50 veces la longitud de la circunferencia de la tierra. Conociendo ya la distancia entre ambas torres se supuso el siguiente calculo:

Longitud de la circunferencia terrestre = 5000est . 50 veces = 250000est . 185M = 46250000m = 46250km.

Área conocida 40067km; área calculada por Eratostenes 46250km.

A= Alejandría [pic 14]

S=Siena

d= distancia entre Alejandría y Siena

R=radio de la tierra

θ= el ángulo formado por la sombra y la torre

Suponiendo que la sombra que hace la perpendicular del rayo de sol con la torre en A, se tiene que:[pic 15]

Sabiendo que Σ de los ángulos es equivalente a 180°, utilizando el Scaphe y el gnomo determino el ángulo θ con los siguientes valores α=82,2°;  β=90°, entonces:

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

si  θ =7,2° entonces por ser los ángulos alternos internos se tiene que  θ= θ'

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