Diseño y construcción: Ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior

Ecuaciones Diferenciales

Fase 3: Diseño y construcción: Ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior

Elaborado Por:

Diego Alejandro Romero Hernández

Código: 1.057.545.883

Miguel Andrés Hernández

Código: 1.057.546.754

Ángela Marcela Ladino Gómez

Código: 1.092.348.949

Mallarline Bernal Cuevas

Código: 1.118.532.660

Lorena Vanesa Soledad

Codigo: 1.053.665.393

Tutor:

Jorge Enrique Taboada

Grupo:

100412_321

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

Octubre-2018

Colombia

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta.

Ejercicio desarrollado por: Diego Alejandro Romero

1. Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma  y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. . Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial  son: [pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

1. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da [pic 15]
2. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da [pic 16]
3. Soluciones iguales y reales cuya solución da  + [pic 17][pic 18]
4. Soluciones distintas y reales cuya solución da  + [pic 19][pic 20]

Ejercicio desarrollado por: Lorena Soledad

1. Para encontrar la solución de una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, se encuentran las raíces de la ecuación característica asociada, de tal mane que si dichas raíces  son m y n, entonces dicha solución es de la forma:  

[pic 21]

[pic 22]

.[pic 23]

Teniendo en cuenta lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación  es:[pic 24]

1. .[pic 25]
2. [pic 26]
3. [pic 27]
4. [pic 28]

Ejercicio desarrollado por: Miguel Andrés Hernández

1. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables se procede  sustituir  Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada,  y luego, con la ayuda de los wronskianos[pic 29]

,         ,            [pic 30][pic 31][pic 32]

Se procede a encontrar la solución particular.    Con base en lo anterior, si la ecuación x2y’’ + xy’ +y=2x   tiene por solución homogénea la expresión  , los respectivos Wronskianos w1 y w2 equivalen a:[pic 33]

Solución homogénea    de la forma  [pic 34][pic 35]

Solución Particular  [pic 36]

Sustituimos los wronskianos

[pic 37]

                                [pic 38][pic 39]

[pic 40]

1. , [pic 41][pic 42]
2. ,   [pic 43][pic 44]
3. ,   [pic 45][pic 46]
4. , [pic 47][pic 48]

Ejercicio desarrollado por: Lorena Soledad

1. Dn es un operador diferencial para cualquier polinomio de orden n-1, esto es, para 1, x, x2, …, xn-1 y cualquier combinación lineal de ellos y (D-)n es un operador diferencial que anula a cualquier función de la forma    [pic 49][pic 50]

En concordancia con lo anterior, al resolver la ecuación  haciendo uso de operadores lineales se llega a la expresión:[pic 51]

1. [pic 52]
2. [pic 53]
3. [pic 54]
4. [pic 55]

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA

Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:

Seleccione A si 1 y 2 son correctas.

Seleccione B si 1 y 3 son correctas.

Seleccione C si 2 y 4 son correctas.

Seleccione D si 3 y 4 son correctas.

Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique

Ejercicio desarrollado por: Miguel Andrés Hernández

1. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria  y después se calcula el wronskiano  . Posteriormente se determina , para poder encontrar   y , y poder hallar la solución particular mediante la integración de ,  y , donde:[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

,     ,          [pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

Una solución particular es  y la solución general de la ecuación diferencial es entonces . Con base en lo anterior, los valores para ,  y  y la solución general de la ecuación  son respectivamente:[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

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