Ecuaciones diferenciales de orden superior

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

Universidad del Perú:” DECANA DE AMERICA”

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FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

E.A.P INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Métodos Numéricos II

Docente: De la Cruz Cuadros Lucy

Integrantes:

• Cruzado Pérez Walter

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

I. TEORÍA PRELIMINAR:

1. ECUACIONES LINEALES.

INTRODUCCION: En temas anteriores vimos que se pueden resolver algunas ecuaciones diferenciales de primer orden si se reconocen como separables, exactas, homogéneas o quizás como ecuaciones de Bernoulli. Aunque las soluciones de estas ecuaciones estuvieran en la forma de una familia, esta familia, con una excepción, no representa la solución de la ecuación diferencial.

Sólo en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se pueden obtener soluciones generales considerando ciertas condiciones iniciales.

Problemas de valor inicial P.V.I): un problema de valor inicilal es toda una ecuación diferencial acompañado de condiciones iniciales, también debemos indicar que en un PVI el número de condiciones iniciales dependerá del orden de la ecuación diferencial.

En general el PVI de orden “n” se expresa de la siguiente forma:

an(x) + an-1(x) +…. + a1(x)  + a0(x) =g(x)[pic 3][pic 4][pic 5]

   y(x0)=y0,  y'(x)= y1, ….., yn-1(x)= yn-1

Ejemplo:

    Verifique que la función y= es solución de la ecuación diferencial[pic 6]

     x +y = cos(x).[pic 7]

Solución

    Tenemos:

                     y = [pic 8]

                     y' = [pic 9]

remplazamos en la ecuación diferencial.

X*() + = cos(x)[pic 10][pic 11]

Cos(x) -  + = cos(x)[pic 12][pic 13]

Por tanto: cos(x) = cos(x)

II. APLICACIONES EN METODOS NUMERICOS:

 2.1 METODO DE EULER.

2.1.1. ANTECEDENTES: El método de Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema de valor inicial, y el más simple de los Métodos de Runge-Kutta. El método de Euler es nombrado por Leonhard Euler, quien lo trató en su libro Institutionum calculi integralis (publicado en 1768-1770).

2.1.2. DEFINICION: El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos.

    =f(t,y)    a≤t≤b, y(a)=α[pic 14]

Tenemos que los puntos de la red forman una distribución normal en [a,b].

      ti = a + i.h, i = 0, 1, 2, . . ., N

  Distancia común entre los puntos se denota:

      h=(a+b)/N

Ahora usamos el teorema de Taylor para aproximar la solución en y(ti+1) en el punto t = ti :

 y(ti+1) = y(ti) + y'(ti) (ti+1 − ti) + ((ti+1 − ti)2/2) y''(ξi), para algún ξi ϵ [ti ,ti+1].

Si h = ti+1 − ti, entonces:

y(ti+1) = y(ti) + y'(ti)h + (h2/2) y''(ξi)

 Si tenemos para valores de h pequeños, el último término de la expresión se puede omitir entonces:

y(ti+1) ≈ y(ti)+y'(ti) h = y(ti)+f(ti , yi) h ≈ yi + f(ti , yi)·h = yi+1

 Entonces:

t0=a

y0 =α      i=0, 1, …, N-1

ti+1=ti +h

yi+1=yi +h f(ti , yi)

Ejemplo:

y' =0.2xy    y(1)=1

solución:

f(x,y)=0.2xy

yn+1 = yn + h(0.2xn.yn)

Entonces, cuando h = 0.1,

y1 = yo + (0.1)(0.2xoy(J = 1 + (0.1)[0.2(1)(1)] = 1.02,

utilice el método de Euler a fin aproximar a y(1.5) con h=0.1

2.1.3. APLICACION EN LA:

 2.2 METODO DE RUNGE KUTTA.

 2.2.1. DEFINICION: Los métodos asociados con los nombres de Runge (1885), Kutta (1901), Heun (1900) y otros para resolver el PVI (Ec. 7.11) consisten en obtener un resultado que se obtendría al utilizar un número finito de términos de una serie de Taylor de la forma.

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