PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ALEJANDRO IMBACHI BOLAÑOS

1. [pic 1]

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

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Se determina como ecuación diferencial homogénea

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Solución general, teniendo en cuenta que la ED es de orden 3, proyecta tres soluciones.

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Conseguimos polinomio asociado a la ecuación diferencial

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Dividimos la expresión entre 20.

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Factorizamos el polinomio para determinar sus raíces.

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De la factorización determinamos que las raíces son:

Obteniendo 3 valores reales diferentes para m

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Solución hallada

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Solución de la E.D.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: JIMENA CAMILA CHILAMA CORAL

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PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

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Hay que tener en cuenta que la formula estándar de una ecuación homogénea de orden superior es la siguiente: 0[pic 16]

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Como segundo paso entramos a simplificar las constantes que apliquen

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Teniendo en cuenta la ecuación estándar anteriormente mencionada, entramos a asumir una solución de la ecuación diferencial con la forma  por lo que es necesario entrar a reescribir y=[pic 19][pic 20]

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Para proceder con la solución de la ecuación de una forma favorable entramos a simplificar

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Teniendo en cuenta que es diferente ( a 0 la ecuación
[pic 23][pic 24][pic 25]

la podemos resolver como una ecuación cuadrática

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Posteriormente entramos a multiplicar cada uno de los elementos de la ecuación por el mínimo común múltiplo que les aplique que en este caso es 6

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En este caso buscamos la fórmula general para una ecuación de orden superior que en este caso para una ecuación de orden superior de la forma la solución sería de la siguiente manera:[pic 31]

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Una vez obtengamos este resultado y esta forma de la ecuación diferencial de orden superior entramos a solucionar la ecuación mediante el método de factorización de la siguiente forma:

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En este caso se debe tener en cuenta que para las 2 raíces , tenemos como solución general de la siguiente forma:[pic 36]

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[pic 38]

Y este sería el resultado final de la ecuación

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ALEJANDRO IMBACHÍ BOLAÑOS

1. [pic 49]

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

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Este tipo de ecuaciones se tiene una solución general de la forma:

Que corresponde a la parte homogénea y para a la solución particular

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Primero se resuelve homogénea

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Determinamos el polinomio asociado a la ED.

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Se determina la raíz

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Consiguiendo el valor de m

Dos raíces complejas conjugadas

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Resultado de la parte homogénea

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Solucionamos la parte no homogénea, haciendo uso del método de variación de parámetros, es decir, tomando las constantes c1 y c2 de la solución homogénea como funciones.

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Sustituir constantes por funciones

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Expresiones para determinar las funciones U1 y U2

W: es el wronskiano

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Determinación del wronskiano.

Mediante a identidad trigonométrica se simplifica.

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Reemplazamos para determinar U1

Usando la relación de un ángulo triple

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Se divide la integral para solucionarla.

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Primera función.

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Substituimos para determinar U2

Usamos la forma de una función coseno con un ángulo triple

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Usamos el postulado que la suma en una integral es la suma de las integrales

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Segunda función

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Reemplazamos en yp

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Solución general

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