Segundo Proyecto – Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

[pic 1]

Nombre del estudiante: Hugo Barberi

                                        Janeth Elizondo

                                        Jesús Martínez

                                        Rogelio Rodríguez

                                        Cesar Bote

Nombre del trabajo: Segundo Proyecto – Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Fecha de entrega: 15 de Noviembre 2018

Campus: Cumbres

Carrera /Prepa: Ingeniería en Sistemas Computacionales / Universidad del Valle de México

Semestre/Cuatrimestre: 4º Cuatrimestre

Nombre del maestro: Francisco Almaguer

Conceptos Básicos:

• Ecuaciones homogéneas:

• “Si una función f tiene la propiedad  para algún número real a, entonces se dice que es una función homogénea de grado a.” - Deniss G. Zill[pic 2]
• “Si una ecuación en la forma diferencial: tiene la propiedad que  y , entonces decimos que es de coeficientes homogéneos o que es una E.D homogénea.” – Jaime Escobar A.[pic 3][pic 4][pic 5]

• Ecuaciones características

• “Tomando las n derivadas de la función y sustituyendo idénticamente en la ecuación diferencial se obtiene una ecuación polinómica de grado n, conocida como ecuación característica de la ecuación diferencial, asi: .” – Desconocido[pic 6]
• “Para que cierta ecuación tenga soluciones que no sean la solución obvia k1=k2=…=kn=0, debe tener .” – Deniss G. Zill[pic 7]

• Conjuntos fundamentales

• “Un conjunto fundamental de soluciones de (H) es un conjunto de n soluciones linealmente independientes de H.” - Jarango
• “Cualquier conjunto y1, y2,  . . .  , yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (6) en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.” – Deniss G. Zill

• Constante Arbitraria

• “Es una constante que se crea por selección propia, es decir sin seguir un criterio especifico, como C1 o C2.” -Desconocido

• Método de Variación de Parámetros

• “Método general para obtener la solución particular a ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.”-Desconocido (Creo que debería dar un poco más de detalle, como que el método usa variables como V1 y V2 para encontrar la respuesta particular y después unirla con la respuesta total.)

Creemos que lo que dicen los autores acerca de la definición de cada concepto es cierta, pero deberían de explicarla mejor para que se entienda lo que consiste cada una.

1. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

1. [pic 8]

1. Interpretación:

1. Para resolver esta ecuación, se determina si es una ecuación homogénea, la cual sí lo es porque esta igualada a cero; luego se debe de convertir esta ecuación diferencial homogénea a una ecuación característica, luego se utiliza la formula general para sacar los valores de “m” (en este caso son 2 “m” los que se deben de sacar); una vez ya sacados se les agrega una “x” a cada valor y se convierten en exponentes para la exponencial “e”.

1. Cálculos:

1. m2-4=0
2.  donde a=1, b=0 y c=-4[pic 9]
3. [pic 10]
4. [pic 11]
5. [pic 12]
6. [pic 13]
7. [pic 14]
8. y1=e2x   y2=e-2x

y=C1e2x+C2e-2x

1. [pic 15]

1. Interpretación:

1. Esta ecuación se resuelve al comprobar que sea una ecuación diferencial homogénea, en este caso sí lo es ya que es igual a cero; después se debe de convertir a una ecuación característica, para que así se utilice la fórmula general y se saquen los valores de “m” (como es una ecuación cuadrática tendrá 2 valores de “m”), una vez sacados los valores se les agrega la variable “x” a cada uno para convertirse en exponentes de la exponencial “e”.

1. Cálculos:

1. 3m2-2m-8=0
2.  donde a=3, b=-2 y c=-8[pic 16]
3. [pic 17]
4. [pic 18]
5. [pic 19]
6. [pic 20]
7. [pic 21]
8. [pic 22]
9. [pic 23]
10. y1=e2x  y2=[pic 24]

[pic 25]

1. [pic 26]

1. Interpretación:

1. Para resolver esta ecuación, se debe verificar que sea ecuación homogénea, la cuál sí es porque esta igualado a cero; luego se debe de convertir a ecuación característica con el fin de poder utilizar la fórmula general para sacar los valores de “m” (en esta ecuación se obtendrán 2 valores de “m” diferentes entre sí porqué la ecuación es cuadrática); una vez sacados los valores se les agrega a cada uno una variable “x” para después convertirlos en exponentes para la exponencial “e”.

1. Cálculos:

1. m2-27=0
2. donde a=1, b=0 y c=-27[pic 27]
3. [pic 28]
4. [pic 29]
5. [pic 30]
6. [pic 31]
7. [pic 32]
8. y1=e3√3x  y2=e-3√3x

[pic 33]

1. [pic 34]

1. Interpretación:

1. Esta ecuación se resuelve al verificar primero que sea una ecuación homogénea, para este caso no lo es ya que su función no es cero, para convertirlo a homogénea se toma la ecuación que está del lado izquierdo y se iguala a cero; una vez convertido se utiliza la fórmula general para sacar los valores posibles de “m” (se sacaran 2 valores de “m” porque la ecuación que estamos resolviendo es cuadrática); después de sacarlos se les agrega una variable “x” para cada uno para que se conviertan en exponentes de las exponenciales ”e”; pero como su función no es cero entonces hay que proponer una ecuación particular, cuyo caso es yP=A, pero como la ecuación particular tiene la misma forma exponencial que la función entonces se le agrega una variable “x” (si aún tiene la misma forma exponencial se le agrega más variables “x” hasta que no sean iguales), cuando se obtenga la ecuación particular definitiva se saca su derivada 2 veces, luego se aplican estas derivadas a la ecuación diferencial para que se puedan separar los coeficientes que tengan las mismas variables, con esto se saca el valor de ”A”; finalmente se utiliza la ecuación yP=Ae-2x para cambiar el coeficiente de “A” y así escribir toda la ecuación que salió.[pic 35]

1. Cálculos:

1. y´´+4y´+4y=0
2. m2+4m+4=0
3. donde a=1, b=4 y c=4[pic 36]
4. [pic 37]
5. [pic 38]
6. [pic 39]
7. m1,2=-2
8. y1=e-2x  y2=xe-2x
9. y=C1e-2x+C2xe-2x
10. yP=Ae-2x
11. yP=Axe-2x
12. yP=Ax2e-2x
13. y´P=-2Ax2e-2x + 2Axe-2x
14. y´´P=(4Ax2e-2x-4Axe-2x) + (-4Axe-2x + 2Ae-2x)
15. [(4Ax2e-2x-4Axe-2x)+(-4Axe-2x+2Ae-2x)] + 4(-2Ax2e-2x+2Axe-2x)+4(Ax2e-2x)=8e-2x
16. x2e-2x(4A-8A+4A)+xe-2x(-4A-4A+8A)+e-2x(2A)=8e-2x
17. 2A=8
18. A=8/2
19. A=4
20. yP=4x2e-2x

y=C1e-2x + C2e-2x + 4x2e-2x

1. y´´ + 4y= [pic 40]

1. Interpretación:

Esta ecuación se puede resolver al verificar que sea una ecuación homogénea, cuyo caso no lo es porque no esta igualado a 0, para que sea homogénea se toma la ecuación que esta de lado izquierdo y se iguala a cero; después se debe de convertir a una ecuación característica para aplicarle la fórmula general y sacar los valores de “m” (como la ecuación es cuadrática se deben de sacar 2 valores), si estos contienen un valor imaginario implicaría que la ecuación contendrá las funciones seno y coseno; después de resolverlo las constantes (C1 y C2) se cambian a v1 y v2, para poder usar la determinante de Wronski y sacar los valores que contendrán las variables v1 y v2; finalmente los valores que salieron para v1 y v2 se sustituyen en la ecuación particular donde contienen el seno y el coseno, así para obtener la ecuación final.

...