Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden

[pic 1]

[pic 2]

Ejemplos:

• [pic 3]
• [pic 4]
• [pic 5]
• [pic 6]
• [pic 7]
• [pic 8]

Solución de una EDO de segundo orden

[pic 9]

Solución de Estado Estacionario:  (Solución Particular)[pic 10]

En estado estacionario:  .  Remplazando en la ecuación[pic 11]

[pic 12]

Ejemplo 1: Hallar el EE de la siguiente ecuación:

[pic 13]

[pic 14]

Ejemplo 2: Hallar el EE de la siguiente ecuación:

[pic 15]

[pic 16]

Ejemplo 3: Hallar el EE de la siguiente ecuación:

[pic 17]

[pic 18]

Ejemplo 4: Hallar el EE

[pic 19]

• Si  entonces . Remplazando en la ecuación[pic 20][pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Aplicando en el ejemplo [pic 25]

Ejemplo 5: Hallar el EE

[pic 26]

[pic 27]

Ejemplo 6: Hallar el EE

[pic 28]

• Si  entonces . Remplazando en la ecuación[pic 29][pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

En el ejemplo  [pic 35]

Ejemplo 7: Hallar el EE de la siguiente ecuación:

[pic 36]

[pic 37]

Ejemplo 8: Hallar el EE de la siguiente ecuación:

[pic 38]

[pic 39]

Ejemplo 9: Hallar el EE de la siguiente ecuación:

[pic 40]

[pic 41]

Ejemplo 10: Hallar el EE de la siguiente ecuación:

[pic 42]

[pic 43]

Solución Homogénea  

[pic 44]

[pic 45]

Remplazando en la ecuación:

[pic 46]

[pic 47]

    Ecuación Característica[pic 48]

[pic 49]

1er Caso:   Raíces reales diferentes[pic 50]

[pic 51]

Ejemplo: Hallar la solución homogénea de la ecuación

[pic 52]

    [pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

2do Caso:   Raíces reales iguales[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

Ejemplo: Hallar la solución homogénea de la ecuación

[pic 60]

    [pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

3er Caso:   Raíces Complejas[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

Aplicando ecuaciones de Euler:

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

Ejemplo: Hallar la solución homogénea

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

Ejercicios: Hallar la solución general de las siguiente EDOs

• [pic 78]
• [pic 79]
• [pic 80]
• [pic 81]
• [pic 82]
• [pic 83]

Solución:

• [pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

Solución General:

[pic 90]

[pic 91]

• [pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

Solución General:

[pic 97]

• [pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

Tarea: Hallar la solución general de las siguientes EDOs lineales de segundo orden

1. [pic 104]
2. [pic 105]
3. [pic 106]
4. [pic 107]
5. [pic 108]
6. [pic 109]

Método de los Coeficientes Indeterminados

[pic 110]

[pic 111]

Solución homogénea

[pic 112]

 X[pic 113]

Ejemplo: Hallar la solución particular de la ecuación

[pic 114]

  (-5)[pic 115]

Solución Particular: Plantear una función general que sea familia de  y buscar los coeficientes.[pic 116]

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación:

[pic 117]

Solución homogénea:

[pic 118]

[pic 119]

[pic 120]

[pic 121]

Solución Particular

[pic 122]

[pic 123]

[pic 124]

Remplazando en la ecuación diferencial[pic 125][pic 126][pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

[pic 130]

[pic 131]

[pic 132]

[pic 133]

Solución General

[pic 134]

Ejemplo: Hallar la solución particular de la ecuación

[pic 135]

[pic 136]

[pic 137]

[pic 138]

Remplazando en la ecuación

[pic 139]

[pic 140]

[pic 141]

[pic 142]

Ejemplo: Hallar la solución particular de la ecuación

[pic 143]

[pic 144]

[pic 145]

[pic 146]

[pic 147]

[pic 148]

[pic 149]

[pic 150]

Ejemplo: Hallar la solución particular de la ecuación

[pic 151]

[pic 152]

[pic 153]

[pic 154]

Remplazando en la ecuación:

[pic 155]

[pic 156]

[pic 157]

[pic 158]

Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación

[pic 159]

Solución homogénea

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[pic 161]

[pic 162]

[pic 163]

[pic 164]

[pic 165]

[pic 166]

[pic 167]

Remplazando en la ecuación:
[pic 168]

 (contradicción)[pic 169]

[pic 170]

[pic 171]

[pic 172]

[pic 173]

Remplazando en la ecuación:

[pic 174]

[pic 175]

[pic 176]

[pic 177]

[pic 178]

[pic 179]

Solución General

[pic 180]

Ejemplo: Hallar la solución de la ecuación

[pic 181]

Solución homogénea:

[pic 182]

[pic 183]

[pic 184]

[pic 185]

Solución Particular

[pic 186]

Remplazando en la ecuación

[pic 187]

[pic 188]

[pic 189]

Solución General:

[pic 190]

Ejemplo: Hallar la solución de la ecuación

[pic 191]

Solución homogénea:

[pic 192]

[pic 193]

[pic 194]

[pic 195]

Solución Particular

[pic 196]

Remplazando en la ecuación

...