Ecuaciones diferenciales de primer orden
Enviado por Fridab28 • 8 de Octubre de 2020 • Resumen • 1.990 Palabras (8 Páginas) • 125 Visitas
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Conceptos b´asicos
Una igualdad que contenga una o m´as derivadas de una funci´on desconocida se llama ecuaci´on diferencial. Se dice que una ecuaci´on diferencial es ordinaria si la funci´on inc´ognita depende de una sola variable. Si la funci´on inc´ognita depende de m´as de una variable, la ecuaci´on se llama ecuaci´on diferencial parcial.
El orden de una ecuaci´on diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuaci´on. Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n, puede expresarse de la forma
F (x, y, yj, ..., y(n)) = 0,
donde F es una funci´on que depende de n + 2 variables. Para fines pr´acticos supondremos que la igualdad anterior tambi´en admite la representaci´on
y(n) = f (x, y, yj, ..., y(n−1)),
para alguna funci´on f de n + 1 variables.
Decimos que una ecuaci´on diferencial de la forma y(n) = f (x, y, yj, ..., y(n−1)) es lineal, si f es una funci´on lineal de y, yj, ..., y(n−1). Es decir, una ecuaci´on diferencial es lineal si puede escribirse en la forma
an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + ... + a1(x)yj + a0(x)y = g(x).
Cuando una ecuaci´on diferencial no es lineal, se dice que es no lineal.
Una soluci´on a una ecuaci´on diferencial en un intervalo I es cualquier funci´on definida en I que satisface dicha ecuaci´on.
Un problema de valores iniciales es aquel en el que se busca determinar una soluci´on a una ecuaci´on diferencial, sujeta a condiciones sobre la funci´on descono- cida y sus derivadas, dadas para un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Al encontrar un problema de este tipo, es natural preguntarse si tiene soluci´on y en tal caso, si dicha soluci´on es u´nica. La respuesta a estas cuestiones viene dada por el siguiente teorema.
Teorema 0.0.1. (Teorema de existencia y unicidad). Sea R un rect´angulo en el plano en el plano que contiene al punto (x0, y0) en su interior. Si las funciones f
∂f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con centro en x0 y una[pic 1][pic 2]
funci´on y(x) u´nica, definida en I que satisface:
1. yj = f (x, y)
2. y(x0) = y0
Si todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial F (x, y, yj, ..., y(n)) = 0 en un intervalo I pueden obtenerse de G(x, y, c1, ..., cn) mediante valores apropiados de ci, entonces a G se le llama la soluci´on general; una soluci´on que no contenga los par´ametros ci se le llama soluci´on particular; una soluci´on que no pueda obtenerse a partir de la soluci´on general se le llama soluci´on singular.
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Se dice que una ecuaci´on diferencial ordinaria es de variables separables, si se puede escribir de la forma
dy f (x)
= .[pic 3][pic 4]
dx g(y)
La ecuaci´on anterior se expresa en forma diferencial como
g(y)dy = f (x)dx.
Decimos que una funci´on f (x, y) es homog´enea de grado n, con respecto a las variables x, y, si para cada t, se tiene que
f (tx, ty) = tnf (x, y).
La ecuaci´on diferencial
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0,
se llama homog´enea, si las funciones M (x, y) y N (x, y) son homog´eneas del mismo grado.
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