APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

INTRODUCCIÓN

Cuando una ecuación diferencial se utiliza para describir un fenómeno físico, se dice que es un modelo matemático. Para tales fenómenos como la desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones químicas, enfriamiento de cuerpos, corriente eléctrica en un circuito en serie, velocidad de un cuerpo en caída, etc., son a menudo ecuaciones diferenciales de primer orden.

OBJETIVO

1. Analizar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diferentes ramas de la física y química.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1. Crecimiento y decrecimiento:

El problema de valor inicial

 = kx(1)[pic 1]

x(t0)=x0,

En donde k es una constante, aparecen en muchas teorías físicas que involucran crecimiento, o bien, decrecimiento. Por ejemplo, en biología a menudo se observa que la rapidez con que, en cada instante, ciertas bacterias se multiplican es proporcional al número de bacterias presentes en dicho instante. Para intervalos de tiempo cortos, la magnitud de una población de animales pequeños, como roedores puede predecirse con bastante exactitud mediante la solución  (1). La constante k se puede determinar a partir de la solución de la ecuación diferencial usando una medida posterior de la población en el instante t1>t0.

En física, un problema de valores iniciales como (1) proporciona un modelo para aproximar la cantidad restante  de una sustancia que se desintegra radiactivamente. La ecuación diferencial en (1) también podría determinar la temperatura de un cuerpo que se enfría. En química, la cantidad restante de una sustancia durante ciertas reacciones también se describe mediante (1).

Ejemplo crecimiento bacteriano:

Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t =1 hora, el número de bacterias medido es  N0. Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique.[pic 2]

Solución:

Primero se resuelve la ecuación diferencial

 = kN                        (2)[pic 3]

Sujeta a N(0) =N0

Una vez que se ha resuelto este problema, se emplea la condición empírica N(1) = N0 para determinar la constante de proporcionalidad k.[pic 4]

Ahora bien, (2) es a la vez separable y lineal. Cuando se la lleva a la forma

 - kN =0[pic 5]

Es posible ver, mediante un simple examen, que el factor integrante es e-kt. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por este término, de inmediato resulta

 [e-ktN ] =0[pic 6]

Integrando ambos miembros de la última ecuación,

e-ktN = c    o bien    N(t) = cekt

Para t =0 se deduce que N0 = ce0 = c y por lo tanto N(t)= N0 e-kt.  Para t =1 se tiene

 N0= N0 e-kt  o bien  ek=[pic 7][pic 8]

De donde se obtiene,

k= ln (= 0,4055[pic 9]

En consecuencia,                         N(t)= N0e0,4055t

Para determinar el valor de t para el que las bacterias se triplican, despejamos t de

3N0 = N0e0,4055t

Se deduce que

0,4055t = ln 3

t =~ 2,71 horas[pic 10]

Para k>0 la función exponencial  crece cuando t crece; y si k<0, decrece cuando t crece. Así, los problemas que describen crecimiento, como el de una población, número de bacterias, e incluso capital, se caracterizan por un valor positivo de k, mientras que los problemas que involucran decrecimiento, como la desintegración radiactiva, darán un valor negativo de k.[pic 11]

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