Ecuaciones diferenciales de primer orden

Instituto tecnológico de Aguascalientes

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Ecuaciones Diferenciales

Grupo:

IM2

 Profesor

Jesús Espino Marques

Alumno

 Abraham Gallegos Padilla

19150869

00 de marzo del 2021

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es aquella que involucra a funciones como incógnitas y sus derivadas, al ser una fusión nuestra incógnita, tendremos una variable dependiente y otras independientes. Veamos un ejemplo sencillo.

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• y = variable dependiente (incógnita).
• x = variable independiente.

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Al ser extensa estas se pueden clasificar de la siguiente forma:

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Orden: El orden de la ecuación diferencial es dado por la derivada de mayor orden, es decir la derivada mayor. Por ejemplo:[pic 17]

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Grado: El grado es determinado por el mayor exponente que aparezca en la derivada de mayor orden[pic 19][pic 20]

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Forma: La forma de una ecuación diferencial es algo más sencilla de lo que parece, pues solo existen dos; La implícita y explicita, esto se debe a la forma en la que se muestra la ecuación.

• Forma explícita: En esta forma es posible distinguir la variable dependiente y dependiente,

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• Forma implícita: No podemos tener separadas las variables dependientes de la independientes, por lo que quedan mezcladas unas con otras.

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Linealidad: Es que la curva trazada por la ecuación diferencial se una línea, por lo tanto, para ello todos los exponentes deben de ser grado uno.

• La variable dependiente “y” y todas sus derivadas son de primer grado
• Los coeficientes de y, yI, yII depende solo de la variable x

Cumpliendo la forma:

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Veamos algunas ecuaciones como ejemplo:[pic 31][pic 32]

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Tipo: El tipo al igual que la forma solo hay dos, ordinaria y parcial.

• Ordinaria: En estas ecuaciones únicamente tiene una variable independiente.[pic 40]

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• Parciales: Tiene en ellas dos o más variables independientes en la ecuación.[pic 44]

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Ahora veremos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales con todas las características:[pic 49]

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¿Qué es la solución de una ecuación general?

La solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación planteada, sin contener [pic 59]

Solución general y particular

Las soluciones que encontramos para las ecuaciones diferenciales se dividen en dos; La solución general es una familia de funciones que satisfacen la ecuación, y la particular es la función que cumple con las condiciones iniciales del problema, es decir una sola función o funciones que cumplas con las condiciones

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Interpretación geométrica

Nos da un conjunto de funciones, las cuales se pueden graficar dándonos una imagen de la familia de funciones [pic 62]

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Todas las funciones tienen como común “mx”, siendo “b” la conste que las distingue una de otra

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Familia de funciones de la circunferencia con radio de el origen, donde el radio de cada curva es la parte distintiva de cada miembro de la familia.

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        4x es la parte en común de todas las curvas, siendo la constante la parte distintiva.[pic 73]

La solución particular puede ser la que cumpla con las condiciones iniciales o de frontera y el número de constantes es igual al orden de la ecuación diferencial, veamos un ejemplo:

Debemos de comprobar que  es solución de:[pic 74]

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Ahora si seguimos la condición de las constantes que debe de tener, la solución general queda de la siguiente forma:

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Pudiendo esquematizar como pasar de la solución general a una particular

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Origen de una ecuación diferencial

Diversos eventos que tiene lugar en la naturaleza tienen como representaciones matemáticas las ecuaciones diferenciales, pero los matemáticos a lo largo de la historia han buscado simplificar muchos de los fenómenos con ellas, más específico por tres métodos los cuales son:

Analítico: Resuelve las ecuaciones.

Cualitativo: Obtiene la solución de la ecuación sin resolverla explícitamente, deduciéndolas por sus características.

Numérico: Utiliza métodos numéricos para conseguir solucionar la ecuación diferencial.

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