ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Definición de ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es aquella que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos grandes tipos: ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales.

Si una ecuación incluye solo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

3dy/dx + 9y = 15

(2x+3y)dx+8ydy=0

du/dx-dv/dx=5x

(d^2 y)/(dx^2 )-2 dy/dx+ 3y=0

Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a dos o mas variables independientes se llama ecuación diferencia parcial.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales

∂u/∂y=-∂u/∂x

x ∂u/∂y+ y ∂u/∂y=u

(∂^2 u)/(∂x^2 )=(∂^2 u)/(∂t^2 )

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden clasificar de acuerdo con su orden y su linealidad.

Clasificación según el orden. El orden de la derivada mas alta de la ecuación es lo que se llama el orden de la ecuación. Poe ejemplo:

Ecuación diferencial Orden

(1-x) y^''-4xy^'+96y=cos⁡5x Segundo

yy^'+2y=1+x^2 Primero

x^(3 ) y^((4))- x^2 y^''+ 4xy-3y=0 Cuarto

dy/dx= √(1+ ((d^2 y)/〖dx〗^2 ) ) Segundo

La clasificación según la linealidad. Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:

El grado de la variable dependiente y de sus derivadas es uno, esto es, el exponente de cada una es uno.

El coeficiente de la variable dependiente y de sus derivadas solo depende de la variable independiente.

Una ecuación que no posee estas propiedades se dice que no es lineal.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

(1-x) y^'-4xy^'+5y=cosx

x^3 y^((4)) 〖- x〗^2 y^''-4xy^'-3y=0

(sin⁡x ) y^''-(cos⁡x ) y^'=2

Ejemplo de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales:

Ecuación diferencial Causa de la linealidad

yy^'+9y=8-x^2 El coeficiente de y'depende de la variable dependiente y

(d^4 y)/(dx^2 )+2y^2=0 El grado de y no es 1

1.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales

Metodo de separación de variables

Se dice que una ecuación diferencial de forma

(1.1)

dy/dx=(g(x))/(h(y))

Es separable o tiene variables separables. Aquí la función h(y) debe ser diferente de cero para todos los valores de y en los que esta definida.

Solución:

A partir de la ecuación (1.1) se tiene que

(1.2)

∫▒〖h(y)〗 □(24&dy=∫▒〖g(x)〗 □(24&dx)+c)

Integrando ambos miembros se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones, la cual queda expresada implícitamente.

En los problemas del 1 al 12 resuelva la ecuación diferencial mediante el método de separación de variables.

dy/dx=cosx

Solución:

Separamos variables

dy=cos2x dx

E integramos haciendo el cambio de variable u=2x,du=2dx

∫▒〖□(24&dy)=1/2〗 ∫▒〖2 cos⁡〖2x□(24&dx)〗 〗

El resultado es

y=1/2 sin⁡〖2x+c〗

2.dx-x^2 dy=0

Solución:

Separamos las variables

dx/x^2 = □(24&dy)

E integramos

∫▒dx/x^2 =∫▒□(24&dy)

La solución es

y= -1/x+c

3. (x+1) dy/dx=1

Solución

Separamos variables

dy/dx=x/(x+1) □(⇒┬ ) □(24&dy)=x/(x+1) □(24&dx)

E integramos

∫▒□(24&dy)=∫▒x/(x+1) dx

Para simplificar la integral se convierten en

∫▒□(24&dy=∫▒(1-1/(x+1)) ) dx

Cuya solución es

y=x-ln|x+1|+c

4. xy^'=4y

Solución:

Primero escribimos la ecuación con sus variables separadas

x dy/dx=4y □(⇒┬ ) xdy=4ydx □(⇒┬ ) dy/4y=dx/x

Y luego integramos ambos lados

1/4 ∫▒dy/y=∫▒dx/x

El resultado es

1/4 ln|y|=ln|x|+c

Para obtener la solución en forma explicita se hace c=ln|k| y se aplica la propiedad ln|a|+ln|b|=ln|ab|

1/4 ln|y|=ln|x|+ln|k|=ln|xk|

Tomando exponenciales de ambos lados para deshacernos de los logaritmos naturales y aplicando la propiedad aln|b|=ln|b|^a nos queda que

e^(1/4 ln|y| )=e^ln|xk| □(⇒┬ ) y^(1/4)=xk

Finalmente

y=x^4 c

5. dy/dx=y^3/x^2

Solución

Separamos las variables

dy/y^3 =dx/x^2

E integramos

∫▒〖y^(-3) dy=∫▒〖x^(-2) dx □( ⇒┬ )〗〗 y^(-2)/(-2)=x^(-1)/(-1)+c □(⇒┴ ) y^(-2)=2x^(-1)+k

Este resultado con cuerda con

y^(-2)=〖2x〗^(-1)+k

√((2+kx)x)/(2+kx)-√((2+kx)x)/(2+kx)

6.dy/dx=(x^2 y^2)/(1+x)

Solución

Separamos variables e integramos

(1+x)dx/x^2 =y^2 □(24&dy)□(⇒┴ ∫▒(1+x)dx/x^2 )=∫▒y^2 dy□(⇒┴ )∫▒1/x^2 dx+∫▒1/x^2 dx+∫▒xdx/x^2 =∫▒y^2 dy

El resultado es

1^(-1)/(-1)+ln|x|=y^3/3+c □( ⇒┴ ) -3+3xln|x|=xy^3+3xc

7.dy/dx=e^(3x+2y)

Solución

Primero expresamos en forma diferencial la ecuación dada

dy= e^(3x+2y) dx

Utilizando propiedades de los exponenciales, separando variables e integrando

dy=e^3x e^2y dx □(⇒┴ ) 2∫▒〖ydy=∫▒x/(x+1)〗 dx

Para resolver la integral del lado derecho hacemos la división

x/(x+1)=1-1/(x+1) dx

Entonces

2∫▒〖ydy=∫▒〖dx-∫▒〖1/(x+1)

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