Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden

Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1.1 Definición (Ecuación Diferencial, orden, grado linealidad)

Ecuación:

Es la relación entre variables expresadas mediante una igualdad.

Ecuación Diferencial:

Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la que todos queremos oír. Es un lenguaje. Para representar la realidad en movimiento usamos también una clave especial, una simbología sintética que nos informa acerca de una velocidad, de un descenso de temperatura, de un aumento de población, de un monto de intereses, hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta. Las realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en común que son variaciones a través del tiempo, esa dimensión inmutable (en el sentido de una cuarta dimensión) en la cual se mueven la materia y la conciencia.

Así pues, en matemáticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales para los hechos y los datos cambiantes.

Es aquella ecuación que contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con

respecto a una sola variable independiente.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales:

Según:

Tipo:

Ordinaria:

Si la ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a

una sola variable independiente.

Ejemplo:

Parcial:

Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes, respecto de dos o más

variables independientes.

Ejemplo:

Orden:

El orden de la derivada más alta de la ecuación es lo que se llama orden, por ejemplo:

Grado:

Se clasifican de primer grado, segundo grado, etc.; lo determina la potencia de a derivada mayor.

Ejemplo:

Linealidad:

La ecuación diferencial lineal se caracteriza por dos propiedades:

1.- El grado de la variable independiente y sus derivadas es 1, esto es, él exponente de cada una es

2.- El coeficiente de la variable dependiente y de sus derivadas solo depende de la variable

independiente.

Ejemplo:

Determinar el tipo, orden , grado y si es lineal o no lineal:

ordinaria 1 1 si

ordinaria 1 1 si

parcial 2 1 no

ordinaria 5 3 no

1.2 Solución De Ecuaciones Diferenciales

Es una función que no contiene derivadas y que satisface dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una entidad. Solución de una ecuación diferencial es aquella que cumple con la igualdad.

Ejemplo: x =1 es solución de una ecuación diferencial x + 4 = 5 1+ 4 = 5

Ejercicios:

1) y = e-x + 8, es solución particular de la ecuación diferencial y'+e- x= 0

y = e-X + 8 es solución particular de la ecuación diferencial y' + e-X = 0, porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos:

y' = - e-X

- e-x + e-X = O :. O = O

2) y = 3x2 + c1 x + c2 , es la solución general de la ecuación diferencial y'' = 6

La función y = 3x2 + c1 x + c2 es solución general de la ecuación diferencial y" = 6, porque:

y' = 6x + C1

y y" = 6 :.6 = 6

3) y =2 e-2 x +1/3 e- x , demostrar la ecuación diferencial y' + 2y = ex

La función y = eX(3 cos 2x + sen 2x) es solución particular de la ecuación diferencial: y" - 2y' + 5y = O, porque:

y' = eX( - 6 sen 2x + 2 cos 2x) + eX(3 cos 2x + sen 2x)

y" = eX( - 12 cos 2x - 4 sen 2x) + ex(- 6 sen 2x + 2 cos 2x) + eX(- 6 sen 2x + 2 cos 2x) + eX(3 cos 2x + sen 2x);

Sustituyendo:

eX( - 12 cos 2x - 4 sen 2x) + 2eX(- 6 sen 2x + 2 cos 2x) + eX(3 cos 2x + sen 2x) + eX(12 sen 2x - 4 cos 2x) + eX(- 6 cos 2x - 2 sen 2x) + eX(15 cos 2x + 5 sen 2x) =

eX [- 12 cos 2x - 4 sen 2x - 12 sen 2x + 4 cos 2x + 3 cos 2x + sen 2x +12 sen 2x - 4 cos 2x - 6 cos 2x- 2 sen 2x + 5 sen 2x +15 cos 2x] = eX(O) = O .:.0=0

Tipos de Solución

Explicita:

Se puede despejar y en la función de x (suponiendo) que la y es la variable dependiente.

Implícita:

No se puede despejar la variable dependiente.

Solución general:

Es la solución que expresa con parámetros (constantes de integración). Una lineal de orden n, su

solución general es n paramétricas.

Solución particular:

Es aquella solución que se obtiene de la solución general al evaluar los parámetros en una o varias

condiciones (las condiciones se clasifican en valores iníciales o valores de frontera).

Solución ideal:

Es cuando y es igual a 0 y satisface la ecuación lineal.

Solución singular:

Es aquella que satisface la ecuación diferencial pero no existe un método formal para obtener

dicha solución.

1.3 Problemas De Valor Inicial

Problema con valor inicial es la ecuación diferencial acompañada de condiciones iniciales.

Consiste en una ecuación de orden n y de n condiciones iníciales las cuales pueden usarse para determinar una solución particular a partir de una solución general n parametrica, resolviendo el sistema de n ecuaciones simultaneas.

EJEMPLO 1

Resolver la ecuación diferencial:

y' -4xy = 0

Para la condición inicial: Y = 1/5 cuando x = 0, o bien, brevemente:

y(O) = 1/5

La ecuación puede escribirse como:

dy = 4xy dx ó dy/y= 4x dx,

integrando ambos lados de la igualdad, tenemos:

In y = 2X2 + C

Y = Ce2x

1.4 Teorema de Existencia y Unicidad

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la

existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener

una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la

solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los

mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un

problema de valor inicial es natural preguntarse por:

1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?

2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única?

3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos?

1.5 Variables Separables

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