Ecuaciones Diferencial De Primer Orden

Ecuaciones diferenciales de primer orden:

Sea la siguiente ecuación:

; (a)

Una ecuación diferencial de primer orden, la solución general de esta ecuación puede expresarse en la forma:

(b)

Donde es cualquier solución particular y es la solución de la ecuación homogénea.

, separamos variables y obtenemos:

;

(1)

La expresión (1); es la solución de la ecuación homogénea, para obtener una solución particular de (a), se multiplica ambos miembros de la ecuación por:

Por lo tanto podemos escribir: (2)

Integramos ambos miembros de la expresión (2)

(3);

Sustituimos (1) y (3) en la expresión (b) y obtenemos:

; Donde c es una constante arbitraria

Otro método para resolver la ecuación (a), es utilizar la variación de la constante de la expresión (1), cuando c es constante, la función es la solución de la ecuación homogénea. Probemos ahora satisfacer la ecuación no homogénea considerando c como función de x, el cual escribimos de está forma:

(3) donde y es una función de desconocida de

Calculamos la derivada de la función ;

, sustituyendo en la ecuación (a) tenemos:

, donde obtenemos:

, integrando esta expresión, se halla

, al sustituir en la expresión (3) tenemos:

.

Un caso particular, utilizando las técnicas expuestas anteriormente es resolver la ecuación no lineal:

(4), donde n es un número arbitrario, está ecuación se conoce como ecuación de Bernoulli, dividimos ambos miembros de la ecuación (4) por (5)

Hacemos el siguiente cambio de variable , derivamos la expresión anterior y obtenemos:

, al sustituir en la expresión (5), tenemos

, esta expresión es una ecuación de primer orden.

Problemas.

Desde una cierta altura se ha arrojado un cuerpo con una velocidad inicial, determinar como cambia la velocidad de caída , si sobre el cuerpo, además de la fuerza de gravedad, actúa la fuerza de resistencia del aire, proporcional a la velocidad , si el coeficiente de proporcionalidad es .

Solución:

En virtud de la segunda ley de Newton tenemos que:

Está ecuación vectorial la convertimos en una ecuación escalar a lo largo del eje y:

Ya que: ( no actúan fuerzas a lo largo del eje x ),

Por lo tanto concluimos que:

1). El lado izquierdo de está expresión equivale a las fuerzas que obran sobre el cuerpo en cuestión, , de la expresión 1) obtenemos:

(2), donde , la relación (2) es una ecuación diferencial lineal de primer orden, reescribimos (2) y obtenemos:

(3), hallamos la solución de ecuación homogénea

Separamos variables: .

Integramos ambos

...