Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Sistemas lineales.

Este sistema tiene la forma

〖dx〗_1/dt=a_11 (t) x_1+a_12 (t) x_2+⋯+a_1n (t) x_n+f_1 (t)

〖dx〗_2/dt=a_21 (t) x_1+a_22 (t) x_2+⋯+a_2n (t) x_n+f_2 (t)

〖dx〗_n/dt=a_n1 (t) x_1+a_n2 (t) x_2+⋯+a_mn (t) x_n+f_n (t)

Un sistema con la forma de las ecuaciones se denomina sistema de orden n, o simplemente lineal. Se supone que los coeficientes, a_ij y las funciones, f_ij son continuos en un intervalo común, I. Cuando f_i (t)=0,i=1,2,…,n, se die que el sistema lineal en homogéneo; en caso contrario es no homogéneo.

Forma matricial de un sistema lineal

Si X, A (t) y F (t) representan matrices respectivas

x=■(x_1 (t)@〖( x〗_2 (t) )@■(⋮@x_n (t) )) A(t)=(■(a_11 (t)&■(a_12 (t)&a_1n (t))@■(a_2n (t)@⋮@a_n1 (t))&■(■(a_22 (t)@⋮@a_n2 (t))&■(a_2n (t)@⋮@a_nn )))) f(t)=(■(f_1 (t)@f_2 (t)@■(⋮@f_n (t))))

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se puede expresar simplemente como:

X’=AX+F

Problemas de valor inicial

Sean t0 un punto en un intervalo I y

x(t_0 )=(■(x_1 (t_0)@x_2 (t_0)@■(⋮@x_n (t_0)))) y x_0=(■(y_1@y_2@■(⋮@y_n )))

En donde las Yi, i=1,2,…, n son constantes dadas. Entonces el problema es un problema de valor inicial.

Principio de superposición

Sean X1, X2,…, Xk un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo en un intervalo I. la combinación lineal

x=c1X1+c2X2+⋯+ckXk

En que las ci, i =1,2,…, k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

Dependencia e independencia lineal

Sean X1, X2,…, Xn un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo en un intervalo I. se dice que el conjunto el linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c1, c2,…, ck, no todas cero tales que

c1X1+c2X2+⋯+ckXk=0

Para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

El wronskiano

Courant y John en su libro de análisis matemático enuncian y prueban que el wronskiano de n funciones de clase Cn es idénticamente cero en un intervalo I, si y solamente si las funciones son linealmente dependientes en ese intervalo. Para la prueba, Courant y John proceden por inducción matemática.

Durante su demostración plantean un sistema de n−1 ecuaciones en las derivadas de un conjunto de n − 1 funciones c1(x), c2(x),. . ., cn−1(x):

〖c^'〗_1 (x) ɸ_1 (x)+〖c^'〗_2 (x) ɸ_2 (x)+⋯+〖c^'〗_(n-1) (x) ɸ_(n-1) (x)=0

〖c^'〗_1 (x) 〖ɸ'〗_1 (x)+〖c^'〗_2 (x) 〖ɸ'〗_2 (x)+⋯+〖c^'〗_(n-1) (x) 〖ɸ'〗_(n-1) (x)=0

〖c^'〗_1 (x) 〖ɸ1〗^((n-2)) (x)+〖c^'〗_2 (x) 〖ɸ2〗^((n-2)) (x)+⋯+〖c^'〗_(n-1) (x) ɸ_(n-1)^((n-2)) (x)=0

Usando la hipótesis de inducción, deducen que el wronskiano W (ɸ 1,. . .,

ɸ n−1) (x) es diferente de cero para toda x en el intervalo I. Con esto obtienen que todas las derivadas c’1(x), c’2(x),. . ., c’n−1(x) son cero, concluyendo entonces que c1(x), c2(x),. . ., cn−1(x) son constantes.

El error en el que incurren Courant y John radica en

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