Sistemas Primer Orden

Christian Argoty, Oscar David Rosero, Bryan Velasquez.

28160213, 27160262, 27160292

Christiansheva0924@hotmail.com, oscar-davidr@hotmail.com, bryan1909@hotmail.com.

Universidad de Nariño, Ingeniería Electrónica, Sistemas Dinámicos.

Laboratorio 1

Sistemas mecánicos e hidráulicos.

Resumen—Se presenta el modelamiento matemático y la simulación con ayuda de Matlab de los sistemas de primer y segundo orden para sistemas mecánicos conformados por amortiguador, resortes y masas como también de sistemas hidráulicos conformados por tanques tuberías y resistencias.

Palabras Claves ó Índice de Términos— simulink, simscape,

INTRODUCCIÓN

S

e desarrolla el modelamiento matemático del sistema de amortiguación de un vehículo y de un monociclo como también el de un sistema hidráulico, con el fin de obtener sus ecuaciones y funciones de transferencia.

Para detallar el comportamiento de dichas funciones se utilizara el programa matlab, que con ayuda de su herramienta simulink permite a través de diagramas de bloques, integradores y sumadores simular y observar el comportamiento de la función en el tiempo, con el mismo objetivo se realiza la simulación con la herramienta simscape que a diferencia de simulink no lo hace por medio de diagramas de bloques sino por la simulación de sus componentes físicos. Por cualquiera de las dos herramientas se debe obtener la misma respuesta.

Metodología

La figura 1 representa el funcionamiento del sistema de amortiguación de un vehículo, el valor de la constante de amortiguamiento b=500 [N. s/m], la masa de automóvil m=800 [Kg], y la constante del resorte k=12000[N/m]. Este sistema está sometido a la fuerza del escalón f(t), representado más adelante en la grafica del osciloscopio 1.

Fig. 1. Amortiguamiento de un Automóvil.

Es un sistema de primer orden y su modelamiento matemático es:

Según las leyes de Newton tenemos que la suma de las fuerzas en el eje Y, será igual a la masa por la aceleración.

∑Fy= m.a = m d2x(t)/dt2

∑Fy= f(t)– K x(t)– B dx(t)/dt= m d2x(t)/dt2

Aplicando transformada de Laplace:

f(s)– K x(s)– B S x(s)= m S2x(s)

S2x(s)= 1/m [f(s) – K x(s) – B Sx(s)] [1]

La ecuación diferencial [1] representa el comportamiento de del sistema.

matlab brinda herramientas de simulación como simulink con la cual a través de diagramas de bloques, integradores, ganancias etc. se puede construir la función deseada y por medio de visualizadores como osciloscopios detallar su comportamiento en el tiempo.

Otra herramienta de simulación útil que brinda matlab es simscape, la cual facilita la simulación para algunos dominios tales como los sistemas mecánicos, eléctricos o hidráulicos, por medio de elementos disponibles que simplifican el modelado de sistemas físicos.

Con la herramienta simulink se realizo la simulación de la ecuación [1], el diagrama obtenido se indica en la figura 2.

Fig. 2 diagrama de simulación del sistema de amortiguación del vehiculo en simulink.

Para la simulación en simscape del sistema, encontramos todos los elementos en la librería de mecánicos, para el uso de estos elementos se debe tener en cuenta que las variables físicas y las señales no se pueden definir de la misma manera por lo que se utilizan los siguientes convertidores:

El bloque PS-S convierte una señal física en una señal de salida de Simulink.

El bloque S-PS convierte la señal de entrada de Simulink en una señal física.

Otros de los elementos de gran importancia para la simulación son:

El bloque de configuración Solver especifica una información global y proporciona los parámetros para el solucionador que el modelo necesita antes de comenzar la simulación.

El bloque Fuerza fuente representa una fuente ideal de energía mecánica que genera una fuerza proporcional a la señal de entrada física.

El sensor de movimiento representa un dispositivo que convierte una variable a través de medida entre dos nodos mecánicos de traslación en una señal de control proporcional a la velocidad o la posición.

La simulación completa del sistema de amortiguación en simscape se representa en la figura 3.

Fig. 3 diagrama de simulación del sistema de amortiguación del vehículo en simscape.

Se tiene ahora el sistema de amortiguamiento de un monociclo, el cual a diferencia del sistema de un vehículo, este consta de dos resortes es decir es un sistema de segundo orden. El sistema se representa en la figura 4.

Los valares de los parámetros usados son, la constante del resorte uno K1= 600 [N/m], la constante de amortiguamiento B=200 [N. s/m], la masa uno M1= 0.2 [N/m], la constante del resorte dos K2=1200 [N/m], la masa dos M2= 10 [N/m] y la fuerza aplicada f(t) igual al escalón aplicado en el vehículo.

Fig. 4 sistema de amortiguación de un monociclo.

Es un sistema de segundo orden y su modelamiento matemático es:

f(t)= M2 d2X2(t)/dt2 + K2(X2 – X1)(t) [2]

M1 d2X1(t)/dt2+K2(X1- X2)(t)+K1 X1(t) B dX1(t)/dt= 0 [3]

De la ecuación [2] se tiene:

f(t)= M2 d2X2(t)/dt2 + K2X2(t)– K2X1(t)

d2X2(t)/dt2 = f(t)/M2 - K2X2(t)/M2+K2X1(t)/M2

[4]

Aplicando transformada de Laplace a [4] se

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