Bucle de Primer Orden

Bucle de Primer Orden

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Figura 1). En el caso más simple donde el nivel tiene un valor; si el nivel es positivo entonces el valor aumenta al nivel y el nivel a la vez aumenta al valor. Este proceso da como resultado un crecimiento exponencial que es el resultado estándar de la realimentación positiva. Así mismo, si el nivel y el valor son negativos, entonces el valor disminuye al nivel, haciendo al nivel más negativo y fomentando disminuciones en el nivel; En un modelo específico el bucle puede estar afectados por factores adicionales dependiendo de cómo se modela el sistema(fracción de nacimiento, tasa de interés, etc.). Sin embargo, no se puede decir lo mismo de un bucle de realimentación positivo de orden superior.

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Figura 2. Realimentación positiva

En bucles de realimentación positiva, el crecimiento exponencial no siempre es exhibido, y los modos de conducta inesperados aparecen. Esto puede parecer sorprendente, sobre todo después de mirar una representación de la vuelta causal de una vuelta de la regeneración positiva (la Figura 2). Si a aumenta a b y b aumenta a c y… y x aumenta a a, ¿entonces siempre habrá un crecimiento (o disminución)? Usualmente sí, pero no siempre.

Bucle de Segundo Orden

Ahora examinemos el bucle más sencillo de realimentación positiva de segundo orden (Figura 3). El flujo del nivel a, da, es igual al valor del nivel b. Además, el flujo del nivel b, db, es igual al valor del nivel a. es Una vez más, la estructura del modelo no se alterará. Cambiaremos solamente los valores iniciales de a y b.

Primero, a=b=0, el flujo para ambos niveles es cero, entonces el sistema está en equilibrio, igual que en el modelo de primer orden. Ahora a(0)=b(0)=1 (esto significa que en el tiempo cero la condición inicial de ambos niveles es 1). El nivel a crece de acuerdo a un flujo igual al nivel b. Como inicialmente a=b, entonces b crece con el mismo flujo. De hecho, a y b crecen idénticamente; ellas se comportan como una sola, creciendo ambas rápidamente.

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Figura 3. Bucle de segundo orden con realimentación positiva

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Figura 4. Comportamiento exponencial de cuatro condiciones iniciales

diferentes (Bucle de segundo orden con realimentación positiva).

En todos los casos b(0)=1

Con b(0)=1 y a(0)=2 ó a(0)=0. En ambos casos el nivel que es el más grande sigue siendo el más grande, y los niveles tienden a ser infinitamente positivos. Después, a(0)=-2. En este tiempo, a es suficientemente negativa como para hacer tender al nivel en la dirección contraria; a tiende a disminuir a b por más que b intente hacer crecer a y eventualmente b caerá a cero, y entonces a y b caerán de plomada. La Figura 4 muestra los intervalos de tiempo para los cuatro casos. Aunque el crecimiento exponencial es el comportamiento dominante es posible obtener una aproximación asintótica al (inestable) equilibrio en un bucle de segundo orden puramente positivo.

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Figura 5. Comportamiento convergente desde las condiciones iniciales a(0)=-1 y b(0)=1. (Bucle de segundo orden con realimentación positiva)[pic 6]

                 Figura 6. Convergencia inestable perturbada para un crecimiento exponencial.

(Bucle de segundo orden con realimentación positiva)

3 Bucle de Tercer Orden

Al examinar el sistema de tercer orden nos damos cuenta que es como un sistema simple de segundo orden. Cada nivel alimenta al siguiente por medio de un flujo (Figura 7).

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Figura 7. Bucle de tercer orden con realimentación positiva.

Este sistema puede producir crecimiento exponencial con varias condiciones iniciales (Ejemplo: a(0)=b(0)=c(0)=1), Esto produce el sorprendente comportamiento de la Figura 8. Aquí, vemos en vez del crecimiento exponencial el deterioro de oscilaciones periódicas amortiguadas.

Como en el sistema de segundo orden, encontramos en este un estado balanceado. Los niveles de este balance no saben si dirigirse hacia arriba o hacia abajo y por eso se nota este comportamiento. Pero, esta aparente aproximación estable al equilibrio -para a=b=c el sistema está en equilibrio - no es realmente estable para todos Sin embargo hay tres retardos. Estos no son retardos en el sentido tradicional; donde interviene un nivel puede cambiarse el flujo de cambio del siguiente. (usando una estructura adicional de realimentación positiva).Los retardos están presentes inherentemente dentro de los niveles. Para ver esto, hay que mirar qué sucede cuando un valor cambia repentinamente. Después de un tiempo notaremos que el nivel cambia de una nueva forma, debido al nuevo valor del flujo.

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Figura 8. Convergencia de las oscilaciones periódicas

(Bucle de tercer orden con realimentación positiva)

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Figura 9. Convergencia de las oscilaciones periódicas desestabilizadas hacia el

crecimiento exponencial (Bucle de tercer orden con realimentación positiva)

3.4 Bucle de Cuarto Orden

El sistema de cuarto orden es idéntico a los sistemas previos excepto que se le agrega un nivel más a la cadena (Figura 10).

La exponencial divergente (a(0)=b(0)=c(0)=d(0)=1) y convergente decaen (a(0)=b(0)=1, c(0)=d(0)=-1), como ya vimos, pero (tan increíble como puede parecer) Con solamente la realimentación positiva entre las variables individuales - y con las condiciones iniciales apropiadamente establecidas - las distancias entre niveles lejanos son lo suficientemente grandes como para crear oscilaciones mantenidas. En la Figura 11, a(0)=1 b(0)=-1 y c(0)=d(0)=0 (cuando se simula esto se pueden expandir las oscilaciones. Si es así,  y este puede ser rectificado usando un método diferente de integración o un DT pequeño. Usando Dt=0.01, Runge-Kutta a DT = 0.1 trabaja muy bien).

Como sucede en otros casos, este modo particular de comportamiento no es estable. Una perturbación de 1/1000 -cambiando c(0)=0.001- crea una desestabilización en la Figura 12.

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Figura 10. Ciclo de realimentación positiva de cuarto orden

La realimentación de cuarto orden tiene la flexibilidad y el retorno para fomentar oscilaciones mantenidas, así como la convergencia a un equilibrio inestable. Este sistema podría ser inspeccionado tomando un sistema oscilante de nivel dos y "ocultándolo" dentro del sistema de segundo orden visto antes; estos dos comportamientos unidos forman el comportamiento que aquí vemos.

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