Ecuaciones Lineales de Primer Orden.

 Programa de Prosecución de Estudios

Ingeniería Civil Industrial

                                       Ecuaciones Lineales de Primer Orden

Son ecuaciones de la forma

                        [pic 1]

donde  [pic 2]  son funciones continuas de x. Si  [pic 3], esta ecuación se puede escribir

                                    [pic 4]

donde  [pic 5] y  [pic 6] son funciones continuas  en un intervalo I.

Si   [pic 7]  la ecuación  es de la forma

                                        [pic 8]

se llama ecuación lineal homogénea, en caso contrario  ecuación  lineal no homogénea.

Solución general de la ecuación homogénea:

[pic 9]   [pic 10]  [pic 11]   [pic 12]  [pic 13] es solución general de la ecuación homogénea.

Observación

 1.- C  admite cualquier valor real , por ejemplo si    C = 1  se tiene  [pic 14]  la cual es una solución particular de la  ecuación.  

2.- Para discutir la solución de la ecuación  no homogénea o ecuación completa, considera-

mos la ecuación  homogénea asociada o ecuación reducida. Sea [pic 15]cualquier solución de la ecuación reducida que no sea la solución cero.

Buscaremos  una  función  [pic 16]  tal  que   [pic 17]   sea   solución  de  la  ecuación completa.

Sustituyendo  y  por  [pic 18] en la ecuación completa se tiene

[pic 19]

desarrollando se tiene     [pic 20]+[pic 21]+[pic 22]

Como  [pic 23], la ultima ecuación se reduce a

[pic 24]

Como  [pic 25]es no nula , dividiendo por [pic 26]  se tiene

[pic 27]

integrando respecto de x se tiene

[pic 28]

entonces  [pic 29] solución de la ecuación completa es

[pic 30]

ahora considerando la solución particular [pic 31][pic 32]  de la ecuación homogénea,

 reemplazando en la ecuación anterior se  tiene

[pic 33]

(Fórmula de Leibniz)

donde x está en  I y   C  es una constante arbitraria.

Ejemplo 1.-

Resolver        [pic 34][pic 35]

Solución

Forma canónica de la ecuación        [pic 36]     

  [pic 37]

Aplicando la formula de Leibniz la solución esta dada por:

                 [pic 38]

Ejemplo 2.-

 Resolver    [pic 39]

Solución.-

Forma canónica de la ecuación                      [pic 40].         [pic 41]

Aplicando la formula de Leibniz la solución esta dada por:

[pic 42]

Ejemplo 3.-

Resolver    [pic 43]

Solución.-

Forma canónica de la ecuación                      [pic 44].         [pic 45]

Aplicando la formula de Leibniz la solución esta dada por:

[pic 46]

Ejemplo 4.-

Obtener la solución  particular de

[pic 47]

Solución.-

Forma canónica de la ecuación                      [pic 48].      

  [pic 49]

Aplicando la formula de Leibniz la solución esta dada por:

[pic 50]

Ecuaciones reducibles a lineales

1.- Ecuación  de Bernoulli

Son ecuaciones de la forma

[pic 51], con  [pic 52]

multiplicando esta ecuación por  [pic 53]queda

[pic 54]

Se supondrá que  p (x)  y  q (x)  son continuas en  un  I = (a,b) y que  n ∈ ℜ.

Si  n = 1, se trata de una ecuación lineal homogénea y  si  n = 0  es una lineal completa. Se considerará por tanto  que n es distinto de 0 y 1.

Haciendo el cambio de variable  [pic 55], tenemos     [pic 56] 

Sustituyendo en la ecuación      

                              [pic 57] 

                              [pic 58]  que es lineal.

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