ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Familia de curvas.

Consideremos una familia de curvas definida en alguna región del plano cartesiano:

Se desea determinar la pendiente de la recta tangente a cualquier elemento de la familia en el punto . Suponiendo que las derivadas parciales de la función existen en la región, el diferencial total de la función está dado por:

(1.1)

Donde es una constante real.

A partir de la expresión anterior se obtiene la ecuación para la pendiente de la recta tangente a cualquier elemento de la familia en el punto , así:

con

En consecuencia, la pendiente de la recta tangente a cualquier elemento de la familia depende de las variables , así:

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial

Ejemplo 1.1. Considere la familia de parábolas:

a) Dibuje dos elementos de la familia.

b) Encuentre la ecuación diferencial de la familia.

Solución:

a) La figura 1.1 ilustra los elementos correspondientes a los valores del parámetro: y .

b) Para hallar la ecuación diferencial derivamos la función y eliminamos la constante, así:

y

Es de esperarse que a partir de la ecuación diferencial se obtenga la familia de curvas. Precisamente, el objetivo del presente libro es que el estudiante aprenda a resolver ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales tienen orígenes muy diversos, pero fundamentalmente estaremos interesados en aquellas ecuaciones diferenciales que resultan del análisis de sistemas de ingeniería.

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