Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bernoulli

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FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE                       INGENIERIA CIVIL

INFORME ACADÉMICO

“Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bernoulli”

Autores:

PEDRO RAMIREZ ALVARADO

WINSLEY O.TANANTA SALAS

ALEJANDRO P. GONZALES HIDALGO

FRANCISCO T. VEGAS CHUQUIZUTA

ROBERT C. LOYOLA GARCIA

JOSUE RENGIFO MOZOMBITE

Asesor:

                      Ing.: JORGE ARMANDO MENDOZA LAZO

Tarapoto – Perú

2015

INDICE

Introducción……………………………………………………………………pág. 1

Ecuación lineal de primer orden…………………………………………….pág. 2

Primer método mediante factores integrantes…………………………….pág. 3

• Segundo método por variación de la constante……………pág. 3-5

Solución de una ecuación lineal de primer orden…………………………pág. 6

Ecuación diferencial de Bernoulli…………………………………………...pág. 7-8

Conclusiones………………………………………………………………….pág. 9

Referencias bibliográficas…………………………………………………...pág. 10

Anexos (Ejercicios)………………………………………………………….pág. 11-15

INTRODUCCION

Cuando se estudia matemáticamente una situación de la realidad, el modelo que se obtiene suele tener un carácter no lineal, siendo esto lo que le confiere, en la mayoría de los casos, una gran dificultad. Uno de los procedimientos más utilizados dentro de la Matemática, y de la Ciencia en general, cuando se aborda un problema difícil, es considerar un problema más sencillo que sea, en algún sentido, una buena aproximación del anterior. Al estudiar este segundo problema se intenta obtener, de las conclusiones, algún tipo de resultado para el problema primitivo. Una de las formas más usuales de simplificar el problema es linealizarlo. Si se quiere estudiar un problema no lineal, el primer paso obligado es estudiar el problema lineal asociado de la manera más completa posible para poder analizar así que ocurrirá en el caso no lineal. El estudio de los sistemas lineales no es difícil y en numerosas ocasiones se pueden obtener resultados concluyentes pues la estructura algebraica de las soluciones es sencilla y a veces se puede dar una descripción de la misma en términos de funciones elementales.

Un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior se transforma en un sistema de primer orden añadiendo más variables. Por esta razón el capítulo se centra en el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

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Y la solución de la misma viene dada por:

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En el caso particular [pic 4] y [pic 5], la solución es:

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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma

a(x)y0 + b(x)y = c(x)        

Donde a(x), b(x) y c(x) son funciones únicamente de la variable x.

Para las ecuaciones lineales de primer orden expresadas en su forma normal:

y0 + p(x)y = q(x)        

Se cuenta con el siguiente teorema de existencia y unicidad de soluciones de un problema de valor inicial (caso particular del Teorema de Picard).

Teorema

 Si p(x) y q(x) son funciones continúas en algún intervalo (a, b) que contiene al punto x0, entonces para cualquier y0 ∈ R existe una única solución del problema de valor inicial:

½  y0  + p (x) y = q (x)

y (x0) = y0

Veremos a continuación dos métodos para resolver las ecuaciones lineales de la forma (11), que verifican las hipótesis del teorema anterior.

PRIMER MÉTODO: Mediante factores integrantes

Las ecuaciones lineales siempre poseen un factor integrante del tipo µ = µ(x), y por tanto, se pueden integrar utilizando este hecho.

En efecto, escribiendo la ecuación diferencial lineal (11) en la forma:

[p(x)y − q(x)]dx + dy = 0

Y llamando M (x, y) = [p(x)y − q(x)],        N (x, y) = 1 se tiene que

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