MODELADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

MODELADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

           CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO

1. Una población de 500 personas se estableció en un lugar donde las condiciones para la vida eran favorables. Siguiendo un crecimiento proporcional, aumentó a 620 personas al cabo de 5 años. Determina la cantidad de personas en 30 años y el tiempo en el que la población inicial aumentará 10 veces.

                                                                                                                         t = 53.52 años

1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en cinco años, ¿En cuántos años se triplicará y cuadriplicará?

t = 7.9 años, t = 10 años

1. La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cualquier momento t. Su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será su población en 30 años?

P = 760 habitantes

1. En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Después de 10 horas hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

 Bacterias[pic 2]

1. Cuando pasa un haz vertical de luz por la sustancia transparente, la rapidez con que decrece su intensidad   es proporcional a  , en donde t representa el espesor en pies del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial  del haz incidente. ¿Cuál es la intensidad del haz a 15 pies bajo la superficie?[pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

1. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva, al cabo de seis horas, esa cantidad disminuyo 3%. Si la rapidez de desintegración, en cualquier tiempo t, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente, calcule la cantidad que queda después de 24 horas.    

Q = 88.57%

1. El isótopo radiactivo de Torio 234 se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente del mismo. Si 100 mg de este material se reduce a 82.04 mg en una semana, encuentra cuanto tiempo debe transcurrir para que la masa decaiga hasta la mitad de su valor original.

t = 24.75 días

1. David deposita $20 000 en una cuenta en donde la tasa de interés es del 5% anual, capitalizado continuamente, pero planea retirar $3 000 por año. Determina una ecuación diferencial que le permita a David calcular su saldo (Q) de su cuenta, t años después del depósito. ¿Cuánto tardará su cuenta en agotarse?

t = 8.1 años

1. Al analizar el hueso de un fósil se encontró que la cantidad de carbono 14 (C) era la centésima parte de la cantidad original. Si la vida media del carbono 14 (tiempo que tarda el material radiactivo en degradarse a la mitad de su masa inicial) es de 5600 años, ¿Cuál es la edad del fósil?

t = 37 204 años

1.  Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada, es decir, el carbón vegetal, encontrados en el sitio, para fechar las pinturas prehistóricas y rupestres, en las paredes y los techos de una caverna en Lascaux, Francia. Determine la edad aproximada en años de un trozo de madera, si se encontró que había desaparecido el 85.5% del carbono 14.

t = 15,600 años

LEY DE ENFRIAMIENTO Y CALENTAMIENTO DE NEWTON

1. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70°F y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10°F. Después de  minuto el termómetro indica 50°F ¿Cuántos grados Fahrenheit marca el termómetro cuándo  min? ¿Cuántos minutos se necesitan para que el termómetro llegue a 15°F?[pic 7][pic 8]

T = 36.76 °F, t = 3.06 min

1. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de 20°C, se deja caer en un recipiente con agua hirviente, ¿Cuántos segundos tardará en alcanzar 90°C si se sabe que su temperatura aumento 2°C en un segundo? ¿Cuántos segundos tardará en llegar a 98°C?

t = 82.1 s, t = 145.7 s

1. Un Termómetro se cambia de una habitación cuya temperatura es de 21 °C al exterior, donde la temperatura del aire es de – 12 °C. Después de medio minuto el termómetro indica 10 °C. ¿Cuál es la lectura del termómetro en  min? ¿Cuánto tiempo le tomará al termómetro alcanzar los – 9°C?[pic 9]

 °C ; 3.06 min aproximadamente[pic 10]

1. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 21 °C. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 29 °C. Una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 27 °C. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a  y que la temperatura del corazón en ese momento era 37 °C. Determine cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver.[pic 11]

t = 1.6 hrs aproximadamente

MEZCLAS

1. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 g de sal y le entran 4 L/min de solución con 1 g de sal por litro; bien mezclado, de él sale líquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad  de gramos de sal en el tanque en cualquier instante t.[pic 12]

[pic 13]

1. Un tanque tiene 500 galones de agua pura y le entra salmuera con 2 libras de sal por galón a razón de 5 gal/min. El tanque está bien mezclado, y de él sale la solución con la misma rapidez. Determine la cantidad  de libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. ¿Cuál es la concentración de la solución en el tanque en 5 minutos?[pic 14]

 ; 0.0975 lb/gal[pic 15]

1. Un gran tanque de 2000 L está lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 0.25 kg de sal por litro con una rapidez de 20 L/min. La solución bien mezclada sale del tanque con la misma rapidez. Determine la cantidad  de kilogramos de sal que hay en el tanque al tiempo .[pic 16][pic 17]

1. ¿Cuál es la concentración de sal en el tanque al tiempo  min? [pic 18]
2. ¿Cuál es la cantidad de sal en el tanque después de un largo tiempo, es decir, ?[pic 19]
3. ¿Para qué tiempo la cantidad de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor límite?

 min[pic 20]

CIRCUITOS EN SERIE RL Y RC

1. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito en serie  con 0.1 henry de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente , cuando .[pic 21][pic 22][pic 23]

 A [pic 24]

1. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un circuito en serie RC, en donde la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia de 5x10-6 farads. Si  ampers, determina: a) La función que describe el comportamiento de la carga, b) La carga y la corriente después de 0.005 segundos, c) La carga cuando .[pic 25][pic 26]

 ;  c, 0.147 A ; 0.001 c[pic 27][pic 28]

1. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, donde la resistencia de 200 ohms y la capacitancia es  farads. Determine la carga  del capacitor si . Halle la corriente .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

1. Resuelve la ecuación del modelo lineal de un circuito RL suponiendo una fuente de corriente alterna , donde  Traza la gráfica del comportamiento de la corriente con respecto al tiempo y calcula la máxima corriente del circuito.*[pic 34][pic 35]

[pic 36]

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