Unidad I: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Unidad I: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

RESUMEN

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. O sea, contiene una derivada y una función normal. Estas ecuaciones se clasifican por tipo, orden, grado y linealidad.  Hay dos tipos de ecuaciones diferenciales, la ecuación diferencial ordinaria que es la que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a únicamente sola una variable dependiente. La ecuación diferencial parcial que contienen derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. (Erwing, 1978)

El orden, ya sea una ecuación diferencial parcial o ecuación diferencial ordinaria es el orden de la derivada de mayor en la ecuación. Esto quiere decir que el orden son las veces en que se va a derivar y la derivada que tenga mayores derivaciones, el número de derivaciones será el orden de toda la ecuación.  El grado de una ecuación es la potencia a la que la derivada de mayor orden esta elevada. La linealidad es una ecuación en la cual la variable dependiente y sus derivadas aparecen elevadas solamente a la potencia uno y no aparece ninguna potencia mayor, ni ningún producto, es llamada lineal. (Dennis, 2006)

La ecuación diferencial lineal se caracteriza por dos propiedades:

1.- El grado de la variable independiente y sus derivadas es 1, esto es, él exponente de cada una.

2.- El coeficiente de la variable dependiente y de sus derivadas solo depende de la variable

También si ellas tienen el mismo orden son lineales. Caso contrario serían ecuaciones no lineales.

Para solucionar una ecuación diferencial sea  de orden n en la forma implícita. Si podemos despejar  la ecuación esta de forma explícita. (Ibidem)[pic 1][pic 2]

Hay diferentes tipos de soluciones, Explicita, se puede despejar y en la función de x (suponiendo) que la y es la variable dependiente. Implícita, no se puede despejar la variable dependiente. Solución general, es la solución que expresa con parámetros (constantes de integración). Una lineal de orden n, su solución general es n paramétricas. Solución particular, es aquella solución que se obtiene de la solución general al evaluar los parámetros en una o varias condiciones (las condiciones se clasifican en valores iníciales o valores de frontera).  Solución ideal, es cuando y es igual a 0 y satisface la ecuación lineal. Solución singular, es aquella que satisface la ecuación diferencial pero no existe un método formal para obtener dicha solución. (Jover, 2011)

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son de las más sencillas, y su resolución se puede realizar utilizando diversas formas: Ecuaciones separables: Sus métodos de solución son las integraciones directas, pasar de una forma implícita a explicita o separando variables. Ecuaciones homogéneas: Este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables separables mediante sustituciones apropiadas. Ecuaciones exactas: Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es hallar una función tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada. (Ibidem)

Desarrollo

Como sabemos, Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.).

Si a una E.D.O le agregas un valor especifico, llamado condición inicial, está ecuación se convierte en una ecuación diferencial con valor inicial.

Este valor inicial es la salida de la función indefinida para algún valor que se encuentra dentro del dominio de la ecuación diferencial dada. Los problemas de valor inicial ayudan a determinar una respuesta exclusiva a partir de las múltiples respuestas posibles para la ecuación diferencial dada. Existe un teorema que es una extensión del problema de valor inicial llamado teorema de existencia y unicidad. Este teorema afirma que existe una solución para los valores iniciales provistos de la ecuación diferencial y la solución obtenida, es de hecho, una solución única. 

Para poder resolver una ecuación diferencial primero tenemos que identificarla, saber su orden, su grado y si es lineal o no lineal, ya identificada intentemos integrarla, y si eso no resulta como un procedimiento inmediato, apliquemos cambios de variable o transformaciones que lleven a integrales más o menos familiares, para esto se requiere el conocimiento previo de las técnicas de integración.

Una ecuación diferencial homogénea tiene, como su nombre lo dice un mismo grado en todos sus términos. Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.

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