ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES

TEMA 1

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES

(Prof. José Luis Quintero)

1.1. MOTIVACIÓN

En cursos anteriores se ha manejado con frecuencia la palabra ecuación la

cual se utiliza en muy variadas ocasiones, por ejemplo: x2

3x 2 0, x3

1 0,

senx 0, tgx ex , ... y como esas, muchas otras análogas, así como sistemas de las mismas. En esos casos se trata de hallar números que son las incógnitas de la ecuación. Estas ecuaciones pueden admitir más de una solución. Existen numerosos

problemas de la Ingeniería, que conducen a plantear ecuaciones, pero donde ahora las

incógnitas ya no son números sino otros objetos matemáticos. Entre estas ecuaciones se encuentran las denominadas ecuaciones diferenciales en las cuales la(s) incógnita(s) que se presentan son funciones, y se llaman diferenciales puesto que en dichas ecuaciones figuran las derivadas de las funciones incógnitas.

En cursos anteriores de Cálculo se aprendió que, dada una función y f(x), la derivada dy dx f '(x) es también una función de x y se encuentra mediante alguna

regla apropiada. Por ejemplo, si

y ex2 entonces

dy dx 2xex2 o bien dy dx 2xy .

El problema que se enfrenta en este tema no es: dada una función y f(x), encontrar su derivada; más bien, el problema es: si se da una ecuación tal como dy dx 2xy , encontrar de alguna manera una función y f(x) que satisfaga la ecuación. En una

palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales. Se debe señalar que ésta es una de las ramas de la Matemática que más profundamente se ha estudiado desde hace unos 300 años, siendo la Mecánica Celeste la primera área donde se aplicó intensamente la teoría de las ecuaciones diferenciales. Desde esa época, el campo de aplicaciones de esta teoría ha aumentado considerablemente, y se puede señalar (a groso modo) que las mismas rigen una gran cantidad de fenómenos (deterministas) donde ciertas magnitudes varían de manera continua en función de uno o varios parámetros, uno de los cuales frecuentemente es el tiempo.

1.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL

Definición 1. Una ecuación diferencial es aquella en la que intervienen derivadas o diferenciales. Si tales derivadas son las de una función de una variable, entonces a la ecuación diferencial se le llama ordinaria. Una ecuación diferencial parcial (o en

derivadas parciales) contiene derivadas parciales.

1.38. Problemas propuestos 1

2 4 3 2 3

Ejemplo 1. Las ecuaciones

x3 d y

x dy

y 7x ,

 d y 

 d y 

2

x5  dy  1 ,

dx2 dx

 4   2   

     

(x2

5y 3)y ' 7x 2y , son ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que

2 2 2

z 2 ,

t t t 0

son ecuaciones diferenciales parciales o en derivadas

y x2

parciales.

y2 z2

Ejemplo 2. Se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

a. (1 x2 )y '' 2xy ' ( 1)y 0, R (Ecuación de Legendre que se presenta en

problemas de propagación del calor con simetría esférica)

b. y '' (y2

1)y ' y 0 (Ecuación de Van der Pol que se presenta en problemas de

circuitos eléctricos conteniendo tubos al vacío)

Ejemplo 3. Se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales parciales:

a. u a2u 0 (Ecuación de onda unidimensional que caracteriza la propagación de

ondas en algunos medios y las vibraciones mecánicas de una cuerda vibrante)

b. uxx

uyy

uzz

0 (Ecuación de Laplace que se presenta en el estudio de

potenciales magnético, eléctrico, gravitatorio y en el flujo de calor)

1.3. ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Definición 2. Se llama orden de una ecuación diferencial al mayor orden de las derivadas que aparecen en dicha ecuación. Es decir, es el orden de la más alta

derivada de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4.

d2y

5

 dy 



3y 1

es una ecuación diferencial ordinaria de segundo

dx2

 dx 

4t 2t

orden o de orden dos. La ecuación

x4

orden cuatro.

0 es una ecuación diferencial parcial de x2

Ejemplo 5.

x2y '' xy ' (x2

p2 )y 0 (Ecuación de Bessel que se presenta en

problemas de flujo de calor en cilindros, propagación de corrientes eléctricas en conductores cilíndricos y vibraciones de membranas) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

1.4. GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Definición 3. El grado de una ecuación diferencial lo da la potencia de la derivada de mayor orden en dicha ecuación.

1.38. Problemas propuestos 2

Ejemplo 6. Identificación de orden y de grado en ecuaciones diferenciales:

a. y ' tg(x) es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado.

2z z

b.

x2

 dy

3x 6 x

3 dy

es una ecuación diferencial parcial de orden 2 y grado 1.



c. 

x 5 0 es una ecuación diferencial ordinaria de orden 1 y grado 3.

 dx  dx

1.5. VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE

Definición 4. Considere

...