APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SUGUNDO ORDEN

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECANICA

ESCUELA DE INGENIERIA DE MANTENIMIENTO

Nombre. Anderson Mora C. COD. 800

Fecha. 12-Diciembre-2011

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SUGUNDO ORDEN

Movimiento Armónico Simple (RESORTES)

Supóngase que un cuerpo de masa m está sujeto al extremo de un resorte flexible (de

peso despreciable), suspendido de un soporte rígido.

Cuando el peso está en reposo, describimos su posición como la posición de equilibrio.

Si el cuerpo se desplaza hacia abajo una cierta distancia y luego se suelta, estará bajo

un movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio (ver figura 5.1). Nuestro

propósito es estudiar el movimiento del cuerpo, conocido como movimiento armónico

simple, en el cual se ignora cualquier fuerza de fricción con el medio que lo rodea.

En este caso, las únicas fuerzas que actúan son:

• Una fuerza de restitución, /r , opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional

a su magnitud (Ley de Hooke). En términos simples fr = kd, donde k es

una constante de proporcionalidad y d la magnitud del alargamiento.

• El peso del cuerpo, dado por W = mg.

Adoptaremos la siguiente convención. Todas las cantidades (desplazamiento, velocidad,

aceleración y fuerza), medidas hacia abajo desde la posición de equilibrio se

considerarán como positivas. Las que se miden hacia arriba, son negativas.

En la posición de equilibrio

mg — ks = 0.

Ahora, al desplazar el cuerpo de esta posición en una magnitud x y soltarla, de la Segunda

Ley de Newton se sigue que

y usando la condición de equilibrio, resulta

(5.1)

El signo negativo indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en dirección opuesta

a la del movimiento.

Podemos escribir la ecuación (5.1) en la forma

O bien

(5.2)

Donde w^2=k/m.

La ecuación (5.2) es la ecuación diferencial del movimiento armónico simple

o movimiento vibratorio no amortiguado.

Hay dos condiciones iniciales asociadas con (5.2), a saber

que representan el deplazamiento y velocidad iniciales, respectivamente. Por ejemplo, si

Xo < 0 y Vo > 0 entonces el movimiento se inicia en un punto que está |Xo| unidades

arriba de la posición de equilibrio y con una velocidad inicial dirigida hacia abajo.

Si Xo > 0 y V0 = 0, la masa está inicialmente en reposo a Xo unidades abajo de la posición

de equilibrio.

La ecuación auxiliar de (5.2) es

Cuyas raíces son imaginarias puras

En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial (5.2) es

Donde C_1 y〖 C〗_2 son constantes que dependen de Xo y Vo

Nótese que independientemente de los valores de C_1 y〖 C〗_2, la ecuación del movimiento

armónico simple (5.3), define una función periódica de periodo T = 2π⁄(w )y describe un

movimiento ideal en el que el cuerpo se mueve alternadamente hacia arriba y hacia abajo

de la posición de equilibrio, infinitas veces.

El periodo T es el tiempo necesario para que se complete un ciclo y su recíproco

f=1/T se llama la frecuencia. El desplazamiento máximo del cuerpo, medido desde

la posición de equilibrio, se llama la amplitud.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1.

Se encontró experimentalmente que un peso de 4 lb estira un resorte 6

pulgadas. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida

hacia abajo de 4 pulg/s, determine:

a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimieno.

b) La ecuación del movimiento.

c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después.

d) El periodo, la frecuencia y la gráfica de la solución.

Solución. Ya que 6 pulgadas equivalen a 1/2 ft, de la Ley de Hooke tenemos que

De donde

Además m = W/g = 4/32 = 1/8 slug.

a) Luego, de (5.2), la ecuación diferencial que describe el movimiento es

o bien

sujeta a las condiciones iniciales

b) La ecuación auxiliar de (5.4) es r2 + 64 = 0, cuyas raíces son r = ±8z. En consecuencia

la solución general de (5.4) viene dada por

c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, están dadas, respectivamente por

lo cual indica que el cuerpo se encuentra a 0.011996 ft arriba de la posición de equilibrio

moviéndose hacia arriba.

d) El periodo y la frecuencia son

Claramente, la amplitud es de 1/24 ft. La solución muestra que una vez que el sistema se

pone en movimiento, permanece en tal estado con la masa desplazándose alternadamente

1/24 ft hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. La gráfica se muestra en la

figura 5.2.

EJEMPLO 2

Una fuerza de 9 lb estira un resorte 3 pulgadas. Un cuerpo que pesa 24 lb se sujeta al resorte y se suelta desde un punto que está 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 36 pulg/s .

a) Determine la ecuación del movimiento x(t).

b) ¿En qué instante pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección hacia

arriba por tercera vez?

...