Aplicación De Las Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Aplicadas en la Paleontología

Al analizar el hueso de un fósil se encontró que la cantidad de carbono 14 era la centésima parte de la cantidad original. ¿Cuál es la edad del fósil?

Solución

Existe un método basado en la cantidad de carbono 14 (C-14) que existe en los fósiles. El químico Willard Libby invento la teoría de la datación como radiocarbono, la cual se basa en que la razón de la cantidad de carbono 14 en la atmosfera es constante, lo que trae como consecuencia que la cantidad de este isótopo en los organismos es proporcional al que existe en la atmósfera. Al morir un organismo deja de absorber carbono 14, es decir la cantidad absorbida de este elemento cesa, y al ser un elemento radiactivo se va desintegrando (recuerda que la vida media de un elemento radioactivo es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de este elemento). Entonces basta con comparar la cantidad proporcional de carbono 14 en el fósil con la cantidad constante en la atmósfera. Para hacer esto se toma en cuenta la vida media del carbono 14 que es aproximadamente de 56000 años.

Ahora regresemos a nuestro problema: digamos que c_0 es la cantidad inicial de carbono 14 en el fósil, entonces la variación de esta cantidad respecto al tiempo es proporcional a la cantidad inicial, es decir:

(dC_0)/dt=kC_0

En donde

C_0= C_0 (0)

Al resolverlo se obtiene:

C_0 (t)=C_0 e^kt

Para obtener el valor k, consideremos que la vida media del Carbono 14 es de 5600 años, esto quiere decir que:

C_0/2=C_0 (5600)

C_0/2=C_0 e^5600k

Se divide entre C0

1/2=e^5600k

Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros

ln 1/2=ln e^5600k

ln 1/2=5600k

(ln 1/2)/5600=k

k=-0.00012378

Por tanto,

C_0 (t)=C_0 e^(-0.00012378t)

Si nos dicen que la cantidad de carbono 14 era la centésima parte de la cantidad original, entonces basta con plantear la siguiente igualdad.

C_0/100=C_0 e^(-0.00012378t)

1/100=e^(-0.00012378t)

ln 1/100=lne^(-0.00012378t)

ln 1/100=-0.00012378t

(ln 1/100)/(-0.00012378)=t

De donde

t≈37204

Por lo tanto, el fósil tiene aproximadamente 37200 años.

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