Pryecto Ecuaciones Diferenciales

Resolviendo la siguiente ecuación diferencial

dv/dy=-1/(v〖(1+y)〗^2 )

vdv=-dy/〖(1+y)〗^2

Por cambio de variable

w=1+y

dw=dy

v^2/2+C_1=-∫▒dw/w^2

v^2/2+C_1=-w^(-1)/(-1)+C_2

v^2/2-1/(1+y)+C=0

Agregando condiciones iníciales.

y=0

v=0 y=0

v=2 Y=0

V=√2

0^2/2-1/(1+0)+C=0 2^2/2-1/(1+0)+C=0 (√2)^2/2-1/(1+0)+C=0

C=1 C=-1 C=0

v^2/2-1/(1+y)+1=0 v^2/2-1/(1+y)-1=0 v^2/2-1/(1+y)=0

v^2/2-1/(1+y)-1=0

Figura 1:

v^2/2-1/(1+y)=0

Figura 2:

De la ecuación diferencial

(d^2 y)/(ds^2 )=-1/〖(1+y)〗^2

Se define:

Z_1=y D_s/(----------→) (dZ_1)/ds=Z_(2 )

Z_2=dy/ds D_s/(----------→) (d^2 Z_1)/(ds^2 )=-1/〖(1+Z_1)〗^2

Con lo cual obtenemos

(dZ_1)/ds=Z_2--------→〖 y〗^'=v

(dZ_2)/ds-1/〖(1+y)〗^2 -------→ v^'=-1/〖(1+y)〗^2

Usando la aplicación PPLane obtenemos las siguientes graficas:

Figura 3: En la grafica se aprecia que solo para los puntos (0,1.5) y (0,2) cuando y→ ∞ entonces v tiende a un valor finito.

Para el punto (0,1.5) v→ .5 y para (0,2) v→ 1

La Velocidad de escape esta cercana al punto (0,10)

Figura 4: En el grafico se observa que ese punto es generado por una condición inicial v_0→1.35

Resolviendo analíticamente la ecuación

dv/dy=-1/(v〖(1+y)〗^2 )

Se obtuvo al inicio del reporte la siguiente solución general

v^2/2-1/(1+y)+C=0

Para 〖V=V〗_0=1 la altura y como la altura inicialmente es 0. Obtenemos C

1/2-1/(1+0)+C=0

C=1-1/2=1/2

La ecuación quedaría de la siguiente forma

v^2/2-1/(1+y)+1/2=0

Derivando respecto a v

v-(1/〖1+y〗^2 ) dy/dv=0

Para encontrar la altura máxima igualamos dy/dv=0

∴v=0

0^2/2-1/(1+y)+1/2=0

-1/(1+y)=-1/2

y=2-1=1

Sustituyendo con condiciones iníciales (v_0,0) en la ecuación diferencial

v^2/2-1/(1+y)+C=0

Se obtiene

〖v_0〗^2/2-1/(1+0)+C=0

C=1-〖v_0〗^2/2

Por tanto

v^2/2-1/(1+y)+1-〖v_0〗^2/2=0

Y sabiendo por la grafica que el máximo se encuentra cuando v=0

1- 〖v_0〗^2/2=1/(1+y)

y=1/(1-〖v_0〗^2/2)-1

Si 1- 〖v_0〗^2/2<0

“y” adquiere un valor negativo

Por tanto v_0>√2

Si 〖V=V〗_0=√2 y con una altura inicial de 0

〖(√2)〗^2/2-1/(1+0)+C=0

2/2-1/1+C=0

C=0

La ecuación quedaría de la siguiente forma

v^2/2-1/(1+y)=0

Entonces si v→1

1/2-1/(1+y)=0

1/2=1/(1+y)

1+y=2

y=1

Se aprecia en la

Figura 5: En la grafica se observa que con condiciones iníciales (0, √2) la grafica pasa por el punto (1,1)

Grafica que “v” tiende a un valor f

infinito v^2/2-(1/y)/(1/y+y/y)=0

Cuando y→∞ v^2/2-0/(0+1)=0 ∴v→0

Ahora al asignar valores iníciales con y=0 y tomando como referencia √2 que ya se aproximaba a la velocidad de escape, se empezó a reducir en .01 el valor de V_0={1.39,1.40,1.41,1.42,√2} obteniendo la siguiente grafica, viendo que la velocidad de escape esta en ese rango

Figura 6: Grafico que muestra la velocidad de escape de acuerdo al siguiente rango V_0={1.39,1.40,1.41,1.42,√2}

Si tomamos la consideración de la fricción del aire se obtiene la siguiente ecuación diferencial

(d^2 y)/(ds^2 )=-1/〖(1+y)〗^2 -0.01v/〖(1+y)〗^2

Se define:

Z_1=y D_s/(----------→) (dZ_1)/ds=Z_(2 )

Z_2=dy/ds D_s/(----------→) (d^2 Z_1)/(ds^2 )=-1/〖(1+Z_1)〗^2 -(0.01Z_2)/〖(1+Z_1)〗^2

Con lo cual obtenemos

(dZ_1)/ds=Z_2-------→〖 y〗^'=v

(d^2 Z_1)/(ds^2 )=-(1+0.01Z_2)/〖(1+Z_1)〗^2 -------→ v^'=-(1+0.01v)/〖(1+y)〗^2

La gráfica

Figura 7:

Si se sabe que (d^2 y)/(ds^2 )=v dv/dy

Se puede resolver nuestra ecuación diferencial

(d^2 y)/(ds^2 )=-1/〖(1+y)〗^2 -0.01v/〖(1+y)〗^2

vdv/dy=-(1+0.01v)/〖(1+y)〗^2

vdv/(1+0.01v)=-dy/〖(1+y)〗^2

∫▒vdv/(1+0.01v)=-∫▒dy/〖(1+y)〗^2

Por cambio de variable en ∫▒vdv/(1+0.01v)

w=1+0.01v --→v=(w-1)/0.01

dw=0.01dv--→dv=dw/0.01

Se obtiene

∫▒vdv/(1+0.01v)-→∫▒〖((w-1)/0.01)(dw/0.01)/(w/1)=〗 1/〖0.01〗^2 ∫▒〖(w-1)/w dw〗=1/〖0.01〗^2 (∫▒〖w/w dw〗-∫▒〖1/w dw〗)

1/〖0.01〗^2 (∫▒〖w/w dw〗-∫▒〖1/w dw〗)=1/〖0.01〗^2 (w-ln⁡(w))

Sustituyendo w

1/〖0.01〗^2 (1+.01v-ln⁡(1+.01v))+C_1

Por cambio de variable se resuelve -∫▒dy/〖(1+y)〗^2

w=1+y

dw=dy

Se obtiene

-∫▒dw/w^2 =-w^(-1)/(-1)+C_2

Sustituyendo w

1/(1+y)+C_2

Igualando

1/〖0.01〗^2 (1+.01v-ln⁡(1+.01v))+C_1=1/(1+y)+C_2

C=10000+C_1-C_2

C+100v-(10000)ln⁡(1+.01v)=1/(1+y)

Sustituyendo con condiciones iníciales (v_0,0)

C=1-100v_0+(10000) ln⁡(1+.01v_0 )

1-100v_0-(10000) ln⁡(1+.01v_0 )+100v+(10000)ln⁡(1+.01v)=1/(1+y)

Gráficamente el valor máximo se alcanza con v=0

1-100v_0-(10000) ln⁡(1+.01v_0 )+100(0)+(10000)ln⁡(1+.01(0))=1/(1+y)

1-100v_0+(10000) ln⁡(1+.01v_0 )=1/(1+y)

y=1/(1-100v_0+(10000) ln⁡(1+.01v_0 ) )-1

Cuando

1-100v_0+(10000) ln⁡(1+.01v_0 )<0

“y” adquiere un valor negativo

Y al contrario cuando

1-100v_0+(10000) ln⁡(1+.01v_0 )<0

“y” se indeterminada o tiene signo negativo cuando

1-100v_0+(10000) ln⁡(1+.01v_0 )<0

1<100v_0-(10000) ln⁡(1+.01v_0 )

Oscilador armónico amortiguado y forzado.

m (d^2 y)/(dt^2 )=-ky  y´´+k/m y=0

y=C_1 cos⁡√(k/m) t+〖C_2 sen〗⁡√(k/m) t ; k/m=4

y=C_1 cos⁡〖2t+C_2 sin⁡2t 〗

y´=〖2C〗_2 cos⁡〖2t-C_1 sin⁡2t 〗

Punto de equilibrio:

f(y,y´)=y´´=(-k)/m y ; t_0=0

f(-t_0,0)=0

(-k)/m t_0=0

y(0)=0 y´(0)=0

y(0)=C_1 cos⁡〖2(0)+ C_2 〗 sin⁡〖2(0)=C_1 〗=0 C_1=0

y´(0)=〖2C〗_2 cos⁡〖2(0)- 〖2C〗_1 〗 sin⁡〖2(0)=〖2C〗_2 〗=0 C_2=0

y_p (t)=0

...