Ecuaciones Diferenciales

3 Algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden I

3.1. Integración directa

Si la e.do. se presenta de la forma:

dy

dx

= g(x);

la solución general se calcula integrando:

y =

Z

g(x) dx:

Ejemplo:

dy

dx

= 7x2 + 2x ! y =

Z

(7x2 + 2x) dx;

solución

y =

7

3x3 + x2 + C:

3.2. Variables separables

Si la e.d.o. se presenta de la forma

dy

dx

= g(x)

h(y) ;

la solución general se calcula:

Z

h(y) dy =

Z

g(x) dx:

Ejemplo:

dy

dx

=

2x

y + 1;

entonces

(y + 1) dy = 2x dx !

Z

(y + 1) dy =

Z

2x dx;

solución

y2 + 2y = 2x2 + C:

Ejemplo:

1

xy4 dx + (y2 + 2) e¡3x dy = 0;

entonces

e3xx dx + y2 + 2

y4 dy = 0 !

Z

e3xx dx = ¡

Z

y2 + 2

y4 dy;

solución

e3x(3x ¡ 1) =

9

y

+

6

y3 + C:

Observaciones:

Se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones implícitas.

Puede que se pierdan soluciones al hacer manipulaciones algebraicas.

3.3. Ecuaciones exactas

3.3.1. Diferencial exacta

Se dice queM(x; y)dx+N(x; y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano si es la diferencial

total de alguna función f(x; y). Es decir,

df(x; y) = M(x; y)dx + N(x; y)dy;

donde

M(x; y) = @f

@x

N(x; y) = @f

@y

¢

Condición necesaria y suciente para que la expresión M(x; y)dx + N(x; y)dy sea exacta.

Sean M(x; y) y N(x; y) funciones continuas, con derivadas parciales de primer orden continuas en una

región R del plano. Entonces una condición necesaria y suciente para que M(x; y)dx + N(x; y)dy sea

diferencial exacta es que

@M

@y

= @N

@x

:

3.3.2. Ecuación diferencial ordinaria exacta

Una ecuación M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0 es exacta si la expresión de la izquierda del igual es una

diferencial exacta.

3.3.3. Solución de la ecuación exacta

Si encontramos f(x; y) tal que df(x; y) = 0, entonces la solución general de la ecuación es

f(x; y) = C;

donde C es una constante.

2

3.3.4. Cálculo de la solución de la ecuación exacta

Integrar la ecuación @f

@x

= M(x; y) y se obtiene

f(x; y) =

Z

@f

@x

dx + c(y) =

Z

M(x; y)dx + c(y):

Para calcular c(y) diferenciamos

@f

@y

= @

@y

Z

M(x; y)dx + c0(y);

despejando

c0(y) = @f

@y

¡

@

@y

Z

M(x; y)dx = N(x; y) ¡

@

@y

Z

M(x; y)dx:

Finalmente sustituir c(y) calculado en el apartado anterior para obtener la expresión de f(x; y).

La solución de la ecuación diferencial exacta será

f(x; y) = C:

Ejemplo:

2xy dx + (x2 ¡ 1) dy = 0:

Es exacta: M(x; y) = 2xy, N(x; y) = x2 ¡ 1 y

@M

@y

= 2x = @N

@x

:

Existe una función f(x; y) tal que @f

@x

= 2xy y @f

@y

...