Desarrollo Prueba Ecuaciones Diferenciales

1. (a) Resuelva el siguiente P.V.I. utilizando un factor integrante de la forma xpyq:

μ

2

y

+

y4

x3

¶

dx −

μ

2x

y2 +

3y3

x2 +

y

x

¶

dy = 0

y (2) = 1

(b) Dada la ecuación (de Ricatti)

y0 + 2xy = 1+x2 + y2

Determine una solución particular por simple inspección y resuelva la ecuación.

2. (a) Un depósito contiene 40 galones de agua pura. Salmuera con 3 libras de sal por galón fluye

en él a razón de 2 galones por minuto, y la mezcla escapa a razón de 3 galones por minuto.

i. Calcular la cantidad de sal en el depósito cuando ya solo quedan en él 20 galones.

ii. ¿Cuándo es máxima la cantidad de sal en el depósito?.

iii. Suponga que el tanque tiene una capacidad total de 100 galones y las velocidades de

entrada y salida se invierten. Determine la cantidad de sal en el instante del rebalse

del estanque.

(b) Supongase que un cable cuelga suspendido de sus extremos, sometido a la acción de su

propio peso. Determine la función cuya gráfica representa la forma del cable colgante si el

peso es constante.

3. Determine la solución general de la ecuación diferencial

x2y00 − 4xy0 + 6y = x3 + 1

4. (a) Considere un circuito RLC con R = 50[Ω], L = 0.1 [H] y C = 5·10−4 [F ]. En el instante

t = 0 [s], cuando I (0) (la corriente en el instante t = 0) y Q (0) (la carga en el instante

t = 0) son cero, el circuito se conecta a una batería que suministra un voltaje constante de

110 [V ] (Es decir, E (t) = 110, en la ecuación L dI

dt + RI + 1

C Q = E (t) y recuerde, además,

que la corriente es la variación de la cantidad de carga en el tiempo). Determine la corriente

en el circuito para cualquier instante t. (Ayuda: para determinar ´I0 (0) = dI

dt (0), considere

la ecuación L dI

dt + RI + 1C

Q = E (t))

(b) Considere un circuito RLC con R = 50[Ω], L = 0.1 [H] y C = 5·10−4 [F ]. En el instante

t = 0 [s], cuando I (0) (la corriente en el instante t = 0) y Q (0) (la carga en el instante

t = 0) son cero, el circuito se conecta a una batería que suministra un voltaje contínuo de

110e−t [V ] . Determine la corriente en el circuito para cualquier instante t.(Ayuda: para

determinar ´I0 (0) = dI

dt (0), considere la ecuación L dI

dt + RI + 1

C Q = E (t))

Nota: - No se permite uso de calculadoras ni formularios.

- Todos los ejercicios tienen la misma ponderación: 1,5 puntos.

- En los ejercicios 1, 2 y 4 debe responder sólo una de las dos alternativas (a. ó b.).

Solución:

1. a. Sea μ (x, y) = xpyq, entonces la ecuación diferencial es

xpyq

μ

2

y

+

y4

x3

¶

dx − xpyq

μ

2x

y2 +

3y3

x2 +

y

x

¶

dy = 0

μ

2xp

y1−q +

y4+q

x3−p

¶

dx −

μ

2xp+1

y2−q +

3y3+q

x2−p +

y1+q

x1−p

¶

dy = 0

utilizando la propiedad de ser exacta:

2 (q − 1) xpyq−2+(4 + q) xp−3yq+3 = −2 (p + 1) xpyq−2−3 (p − 2) xp−3yq+3−(p − 1) xp−2yq+1 (0.4 Puntos

luego

2 (q − 1) = −2 (p + 1)

4 + q = −3 (p − 2)

0 = − (p − 1)

por lo tanto p = 1, q = −1 , y así μ (x, y) = x

y .(0.3 Puntos)

Por lo tanto, la ecuación diferencial exacta es:

μ

2x

y2 +

y3

x2

¶

dx −

μ

2x2

y3 +

3y2

x

+ 1

¶

dy = 0

y luego

f (x, y) =

Z μ

2x

y2 +

y3

x2

¶

∂x

=

x2

y2 −

y3

x

+ φ (y)

y derivando con respecto a y se tiene

∂f

∂y

(x, y) = −

2x2

y3 −

3y2

x

+ φ0 (y) = −

2x2

y3 −

3y2

x −1 = N (x, y)

φ0 (y) = −1 ⇒ φ (y) = −y

y luego la solución general:

x2

y2 −

y3

x − y = C (0.6 Puntos)

Aplicando la condición inicial, se tiene C = 52

, y la solución es

x2

y2 − y3

x − y = 52

o bien

2x3 − 2y5 − 2xy3 = 5xy2 (0.2 Puntos)

b. Dada la ecuación de Ricatti, y0 + 2xy = 1+x2 + y2, si:

y0 = 1+x2 + y2 − 2xy

entonces y = x es una solución para la ecuación diferencial, pues:

d (x)

dx

= 1+x2 + (x)2 − 2x (x)

1 = 1+x2 + x2 − 2x2

1 = 1 (0.5 Puntos)

Luego y = x es una solución particular de la ecuación. El cambio de variables apropiado es

y = x + 1

z = x + z−1, luego:

y0 = 1−

z0

z2

y reemplazando en la ecuación original:

1 −

z0

z2 + 2x2 +

2x

z

= 1+x2 + x2 + 2

x

z

+

1

z2

−

z0

z2 =

1

z2 ⇒ z0 = −1 ⇒ z = −x + C (0.5 Puntos)

despejando z en el cambio de variables y reemplazando se tiene

1

y − x

= −x + C

1 = −yx + x2 + yC − xC

y (C − x) = −1 + x2 − xC

y = x2−1−xC

C−x (0.5 Puntos)

2. a. Sea x (t)= cantidad de sal [lb], en el depósito en el instante t, entonces la cantidad de mezcla en

el depósito en el instante t es V (t) = 40+(2 − 3) t = 40−t [gal], Así la ecuación diferencial

que representa la situación descrita es

x0 (t) = 3 · 2 −

3

40 − t

x (t)

o bien

x0 (t) + 3

40−t x (t) = 6

el factor integrante es μ (t) = e

R 3

40−t dt = 1

(40−t)3 . Por lo tanto

d

dt

μ

1

(40 − t)3 x (t)

¶

=

6

(40 − t)3

1

(40 − t)3 x (t) =

Z

6

(40 − t)3 dt =

3

(40 − t)2 + C

x (t) = 3(40− t) + C (40 − t)3

Usando la condición inicial:

0 = x (0) = 120 + C·403

C = −

3·40

403 = −

3

402 = −

3

1600

Por lo tanto,

...